咬住特殊角巧用运动的观点解几何题1.doc

“咬住”特殊角不放 ——用运动的观点巧解几何题 【摘要】初中几何题中，关于特殊角的问题很多，如何抓住有用的信息，帮助我们来分析问题，解决问题是摆在教师和学生面前的一个课题。本文从运动的观点，抓住特殊角阐述了辅助线的添加、结论的论证和旋转变换中存在的规律，养成善于思考、善于总结的良好的学习习惯。 【关键词】运动 特殊角 辅助线 验证 旋转 在初中几何学习中，我们往往会遇到这样一类题型：已知条件给出一些角的度数，让我们计算或证明一些相关结论。但是在实际学习中，我们发现，如何把给定的特殊角和我们要解决的问题之间建立“友谊”的桥梁却非易事。笔者就日常教学中遇到的一些问题简介如下，供大家参考。 选择恰当的运动方式添加辅助线 例一 （1）.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD 上，且∠EAF=45°，连接EF，求证：BE+DF=EF。 （2）.如图2，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，若BD=2，CD=3,求△ABC的面积。 把这两题摆在一起，让大家对照一下，可以发现：都含45°的角，但我们处理问题的思路是不同的。 问题（1）中，延长CD到G，使得DG=BE，连接AG。易证得△AGD≌△AEB，从而进一步证明△AGF≌△AEF后得BE+DF=EF。本题的实质是将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，从而把EF和GF放到两个全等的三角形中证得相等。再看问题（2）中，我们将△ABD和△ADC分别以AB、AC为轴向外翻折180°，由∠BAC=45°，可得∠EAF=90°，再将图形补成正方形可求△ABC的面积。（解题过程略，△ABC的面积为15） 我们甚至可以看出图1包含图2的情形，但是在问题（1）中却不能简单地过A作EF的垂线段来加以证明，不然会让我们走进解题的一个 “死胡同”，形似而神非。 利用特殊的旋转角度验证结论 例二 （1）如图3，将一副三角板（△ABC为45°角 的三角板和DEF为30°角的三角板),直角顶点与D重合，点EA、D、B在一条直线上,且D是AB的中点，将RT绕点D顺时旋转α度（0α＜90°）,在旋转过程中，DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N，（2）已知,将一副三角板ABC为30°角的三角板和DEF为45°角的三角板),点EA、D、B在一条直线上,且D是AB的中点，将RT绕点D顺时旋转α度（0α＜90°）,在旋转过程中，DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N，分别过点M，N作AB的垂线，垂足为GH在RTDEF绕点D顺时针旋转过程中，能证明AG=DH吗？α=0°或45°或90°时，MD=ND； 在（2）中，显然当α=0°或30°或90°时，AG=DH。其实，我们知道，在本题中α=0°或α=90°的情形是不存在的，（如图5、6）但是作为特殊情形可以说明结论的正确性。 同时在（1）中α=45°时得四边形MDNC是正方形，有DM=DN；在（2）中α=30°时四边形MDNC是矩形，易证得△AMG和△DNH全等，同样有AG=DH。 如果认为这样就能说明结论的成立,还为时过早。我们知道，这只是问题的特殊性的一面，并不能从完备性上来加以论证，显然不是我们想要的。但从（1）的结论可以看出：如图7，当0°＜α＜90°时，△MDN始终是等腰直角三角形，那么（2）中△MDN在0°＜α＜90°时又将如何呢？找其共性，发现在这两个图形中四边形MCDN是圆的内接四边形，即M、C、N、D四点共圆。于是不难发现在图7中，∠MND=∠ACD=45°，图8中，∠MND=∠DCA=60°。下面给出问题（2）的解题过程： 连接CD、MN。 因为ACB=∠EDF=90°，所以M、D、N、C四点共圆，因此MND=∠ACD。 又D是AB中点，ABC是直角三角形， 所以CD=AD，有ACD=∠A=60°。 于是MND=60°。在MND中，tanMND=. 在AMG中，…………（1） 又MGAD，NHAB，EDF=90度，易证MGD∽△DHN。 于是…………（2） 由（1）（2），得AG=DH。 本例中问题（2）是难度的，但是我们通过问题（1）解题思路的对比和联想，从而找出两题共性的地方，使我们的思维得到发散。因此，选择特殊的旋转角度验证结论，并且在这个过程中找出一般性的规律，使问题得以解决。 巧选特殊的旋转角度构造“桥梁” 例三 （1）如图9，P是正方形ABCD内一点，PA=3,PB=， ∠APB=135°，求PC的长。 解：本题中，将△ABP绕B顺时针旋转90°得△CBQ，连接 PQ，如图10所示。 于是△PBQ为等腰直角三角形，那么PQ=PB=2， 同时∠PQB=45°，又∠CQB=∠APB=135°，那么∠PQC=90°. 在Rt△PQC中，PQ=2,CQ=AP=3，