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2010年寒假高三数学练习题（一） 一、选择题： 1．满足条件的所有集合A的个数是 （ ） A． B． C． D．和都是纯虚数，则= （ ） A． B． C． D． 3．命题甲：p是q的充分条件；命题乙：p是q的充分必要条件，则命题甲是命题乙的（ ） A． B． C． D．表示平面，l、k表示直线，并且有．给出三个结论：①；②；③．其中正确的结论的个数是 （ ） A． B． C． D．所表示的平面区域的面积等于（ ） A．6 B．8 C．12 D．15 6．已知某质点的位移与移动时间满足，则质点在的瞬时速度是（ ） A．4 B．6 C．8 D．16 7．右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示， 则该几何体的表面积为（不考虑接触点） A．6++ B．18+2+ C．18++4 D．32+ 8．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A．2 B．3 C． D． 9．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P 满足，，则实数 的值为 （ ） A． B．2 C．－2 D． 10．若二次函数的部分图像如右 图所示，则函数的零点所在 的区间是 （ ） A． B． C． D． 11．过抛物线的焦点F作直线与此抛物线相交于A、B两点，O是坐标原点，当时，直线AB的斜率的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 12．半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为 （ ） A． B． C． D． 二、填空题： 13．在 = ． 14．等差数列｛｝的公差不为零，首项＝，是和的等比中项，则数列的前、是双曲线的两个焦点，M为双曲线上的点，若，，则双曲线的离心率为 ； 16．已知函数，正实数、、成公差为正数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断： ①；②；③；④，其中有可能成立的判断的序号是 （请把你认为正确的都填上）． 三、解答题： 17．已知向量，，． （1）当时，求角x的取值集合； （2）求函数的单调区间，并求出使得取得最大值的对应向量． 18．如图，三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧面是菱形且垂直于底面,∠＝60°,是的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 18．（文科）如图所示,矩形中，平面，为上的点，且平面交与点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 19．设、是函数的两个极值点． （1）若，求函数的解析式； （2）若，求的最大值． （3）若，且，，求证：． 20．已知分别是椭圆的左、右焦点，B是其上顶点，点N的坐标是，满足． （1）求此椭圆的方程； （2）若M是坐标平面内一动点，G是三角形MF1F2的重心，且，其中O是坐标原点，求动点M的轨迹C的方程； （3）点P是此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（2）中所求得轨迹C的两条不同的切线，Q、R是两个切点，求的最小值． 2010年寒假高三数学练习题（一）参考答案 一、选择题：CDBBC CBACC DA 二、填空题：13． 14． 15． 16．①②③ 三、解答题 17．解：（1） ……………………………1分 ∵，∴，即， ……3分 从而, 因此角x的取值集合为 ……………………………5分 （2） 令； 令 从而函数的单调增区间是， 单调减区间是． …………………………10分 由以上可知当， 与之相对应的向量 ．…………12分 （注意：因为把向量和的起点放在原点，的终点在单位圆上运动， 所以向量和向量同向时，数量积取得最大值， 这样也可求出对于的向量） 18．解：（1）证明：因为是菱形，∠＝60°，所以△是正三角形． 又是的中点，所以，进而有． 因为平面平面，是交线，所以． 又因为，所以．………………………………6分 （2）方法1：过作于点，连结，则 因为，即， 所以，是二面角的平面角……9分 △中，＝60° Rt△中，＝60° 所以 即二面角的正切值是2．……12分 方法2：如图所示，以点B为坐标原点， BA和BM所在直线为x轴和z轴建立空间直角坐标系 则根据条件可得 从而………………………4分 设是平面的法向量，则 即 令，则，从而 …………………8分 由z轴垂直于平面，得是平面的法向量 …………9分 设二面角的平面角为，根据条件可知为锐角，所以 因此二面角的正切值是2． ………………………………12分 18．（文科）（1）略;（2）略;（3）． 19．解：（1） ……