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2004年第21届物理奥赛复赛试题解答
第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为
V2 = HA (1)
P2= P1
经过2小时,U形管右管中空气的体积和压强分别为
(2)
(3)
渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为
(4)
(5)
式中??为水的密度,可知,经过2小时,薄膜下部增加的空气的摩尔数
(6)
在2个小时内,通过薄膜渗透过去的分子数
(7)
式中NA为阿伏伽德罗常量.
渗透室上部空气的摩尔数减少,压强下降.下降了?P
(8)
经过2小时渗透室上部分中空气的压强为
(9)
测试过程的平均压强差
(10)
根据定义,由以上各式和有关数据,可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数
(11)
评分标准:
本题20分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分,(6)式3分,(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分,(11) 式4分.
二、如图,卫星绕地球运动的轨道为一椭圆,地心位于轨道椭圆的一个焦点O处,设待测量星体位于C处.根据题意,当一个卫星运动到轨道的近地点A时,另一个卫星恰好到达远地点B处,只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角?1,位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角?2,就可以计算出此时星体C与地心的距离OC.
因卫星椭圆轨道长轴的长度
(1)
式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离.由角动量守恒
(2)
式中m为卫星的质量.由机械能守恒
(3)
已知
,
得 (4)
所以 (5)
在△ABC中用正弦定理
(6)
所以 (7)
地心与星体之间的距离为,在△BOC中用余弦定理
(8)
由式(4)、(5)、(7)得
(9)
评分标准:
本题20分.(1)式2分,(2)、(3)式各3分,(6) 、(8)式各3分, (9) 式6分.
三、因?子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
根据时间膨胀效应,在地球上观测到的?子平均寿命为?, (1)
代入数据得
? = 1.4×10-5s (2)
相对地面,若?子到达地面所需时间为t,则在t时刻剩余的?子数为
(3)
根据题意有
(4)
对上式等号两边取e为底的对数得
(5)
代入数据得
(6)
根据题意,可以把?子的运动看作匀速直线运动,有
(7)
代入数据得
(8)
评分标准:
本题15分. (1)式或(2)式6分,(4)式或(5)式4分,(7) 式2分,(8) 式3分.
四、1.考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求,组合透镜所在的平面应垂直于z轴,三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线,O2位于z轴上,如图1所示.图中表示组合透镜的平面,、、为三个光束中心光线与该平面的交点. = u就是物距.根据透镜成像公式
(1)
可解得
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点,来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉,必须有2utan? ≤h即u≤2h.在上式中取“-”号,代入f 和L的值,算得
≈1.757h (2)
此解满足上面的条件.
分别作3个点光源与P点的连线.为使3个点光源都能同时成像于P点,3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上(如图1).由几何关系知,有
(3)
即光心O1的位置应在之下与的距离为
(4)
同理,O3的位置应在之上与的距离为0.146h处.由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h,才能使S1、S2、S3都能成像于P点.
2.现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜.
因为三个透镜的半径r = 0.75h,将它们的光心分别放置到O1、O2、
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