Lebesgue积分在Riemann积分中的若干应用.doc

Lebesgue积分在Riemann积分中的若干应用 摘要 本文对勒贝格积分进行详细研究，重点论证了（1）勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性（2）勒贝格可积函数的范围比黎曼积分广泛（3）在勒贝格积分意义下，积分与极限交换顺序的条件比较弱。 关键词 勒贝格，黎曼积分，区别，应用 预备知识 定义1 设是定义在上的一个函数，J是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要，就有 则称函数在区间上可积或黎曼可积，数J称为在上的定积分或黎曼积分，记作 定义2 设，则称 为在上的勒贝格积分，记做或 引理1 设，则，且 = 引理2 令设，则的充分必要条件是 二、勒贝格积分在黎曼积分中的应用 勒贝格积分在黎曼积分中的应用主要由可积性上体现出来，试看下列几个例子 例1 若，则。 证 由 且则有即。 注：此例证法较分析上册的定理9.4中运用了一致连续保证所有小区间上的振幅一致地小于，一致连续性的知识，对比此种解法显得较为繁冗。而此题运用连续直接推出是区间上的有界函数，那么反之如何且看下面的例2 例2 若，，则。 证：因，则又则有 注：较分析上册9.5中的证明只证明了在上仅有一个间断点的情形，即该间断点为端点，运用了若在分割中存在有限个小区间的振幅大于等于，这样小区间长度总和一定可以任意小的知识，对比上面的解法同样显得繁冗且并不严谨。那么从单调的角度看例3 例3 若是区间上的单调函数，则在上可积。 证：不妨设单调递增，设有，则，易知此处，则有，由L积分可知。 注：此处仍然体现了勒贝格积分在黎曼积分中的应用，通过间断点至多小于无穷来证明可积，分析上册定理9.6中运用可积的充要条件体现了单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性。 例4 设，试证 证： 由题意可知且则即 同理可知， 注：此例较泛函分析3节中的证法简单通俗，避免了多次代入公式易引发错误论证的弊端。 三、简单比较L积分与R积分 1 在R积分中可积，有也可积，反之则不成立，例如=（x是上的有理数时为1，无理数时为）在R上可积，但不可积，其大和为1，小和为，而在L积分中有很好的结论，L积分是绝对收敛积分。即在集合E上可测，L可积的充分必要条件是可积，这给研究问题带来了许多方便。 2 在R积分中逐项积分问题，即积分与极限交换顺序问题，条件相当苛刻，要求被积函数一致收敛，极限才能通过积分号，这从运算角度看不仅不方便，而且限制太强，L积分比R积分要求条件少，对非负函数项级数几乎可无条件地逐项积分，就L控制收敛定理，只需存在控制函数，使得即可，因此L积分比R积分灵活的多。 例5 狄利克雷函数把上有理点依次排列成为：作函数列则处处收敛于，且， 在L积分意义下，由L控制收敛定理得： 但不是R可积，尽管在R积分意义下，有 3，在R积分下的二重积分化成累次积分计算时，要求被积函数在积分区域上连续，这一要求是比较高的，运算起来不太方便，而且L积分中，二重积分化成累次积分由博比尼定理给出了较弱的条件，即只要可积，特别是对非负可测函数来讲，可无条件地化成累次积分，这些结果运用起来比较方便。 4.利用L积分可得出R积分比较深刻的结论，我们得到一个重要结果：上的有界函数可积的充分必要条件是在上几乎处处连续，即不连续点的长度为0，这是R积分的本质特性，从黎曼积分的自身理论是得不出来的，必须借助于L积分理论才能得到。 四、 勒贝格积分的延伸 随着函数论，概率论等各门学科的发展，也暴露出来L积分的局限性。我们知道可以看做是在上的平均值，而也是在上的平均值，但此时，中接近1的点与接近0的点，对于求平均值的分量就不一样，这就需要用一个新的量来描述这种“偏重”。于是人们就设法对R积分进行了新的推广，而且力求比L积分更优越，于是产生了R-S，积分L-S，其中L-S积分是建立在L更广的测度理论上的。因此L积分理论还是有待发展的。 参考文献： 【1】 田民强，实变函数（N），厦门大学报，1996.11 【2】 江泽坚，实变函数论（N），四川成都科技大学报，2004.4 【3】 霍殿清，实变函数（M），东北师大，1982.8 【4】 张奠宙，数学教育学（M），江西:江西教育出版社，1991 【5】 佟庆伟，教育科研中的量化方法（M），安徽：中国科技大学出版社，1997 【6】 张国楚，文科数学教育初论（M），山西：山西高校联合出版社，1996 【7】 胡适耕，实变函数（M），北京：北京教育出版社，2004 【8】 L.M菲赫金哥茨，微积分学教程（M），北京：北京高等教育出版社，1993 【9】 陈传章，数学分析（M），北京：北京人民教育出版社，1979 【10】华东师范大学数学系，数学分析（M），高等教育出版社，2001 Lebesgue Integ