圆的定义与对称性.doc

圆的概念与对称性 【知识要点】 1．圆的基本概念 （1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。 （2）确定圆的条件；①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； ③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆； （3）点和圆的位置关系 设圆的半每径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外d＞r； ②点在圆上d=r； ③点在圆内 d＜r； （4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。 （5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。 2．圆的基本性质 （1）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 推论1 ①平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 【典型例题】 例1如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C、D两点， AB=10cm，CD=6cm，则AC的长为（ ） A．0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm 例2如图⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,且=BD, AE=8,EB=2,则CD=__________。 例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。 例4已知：⊙O的半径为2cm，弦AB的长为2cm，则这条弦的中点到弦所对的劣弧的中点的距离为（ ） A．1cm B．2cm C．cm D．cm 例5如图⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm， ∠CEA=30°，求CD的长。 例6 如图，已知AB为⊙O的弦，⊙O的半径OE、OF分别交AB于C、D，且AC=BD。 求证：CE=DF。 例7 如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CD． 【经典练习】 1.⊙O的直径为10cm,⊙O所在的平面内有一点P,当PO_______时,点P在⊙O上;当PO时,点P在⊙O内;当PO______时,点P在⊙O外.2.已知⊙O的周长为8cm,若PO=2cm,则点P在_______;若PO=4cm,则点P在_____;若PO=6cm,则点P在_______. .圆既是轴对称图形,又是______对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是. 5.如图已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m. 6.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,D是AB的中点,以C为圆心,4cm长为半径作圆,则A、B、C、D四点中,在圆内的有( ) A.4个B.3个C.2个D.1个 7.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界) B.圆的内部(不包括边界) C.圆 D.圆的内部(包括边界) 8.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( ) A.等于6cmB.等于12cmC.小于6cmD.大于12cm 9.如图