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16.2二次根式的运算4 教学目标 1、知识目标 使学生会进行简单的二次根式的大小比较，并了解一些常用的二次根式大小比较的方法。 2、方法过程 通过探究二次根式的大小比较，使学生掌握二次根式的大小比较的基本方法，及分类思想。 3、情感价值 通过二次根式的大小比较，培养学生探索精神，初步感受分类思想的应用，培养兴趣，增强信心。 重点难点 1、重点 二次根式的大小比较 2、难点 各种不同类型的二次根式的大小比较 教学过程 一、开方法 基本思路:当a＞0,b＞0时,若要比较形如a与b（m、n均大于零） 的两数大小,可先把根号外的正因数a、b的平方后移入根号（、）内，,再根据被开放数（、）的大小进行比较. 【例1】 比较和的大小. 分析移入根号内再比较被开方数的大小＜即＞. 解：∵ 3×3×3=27,2×2×7=28,而＜即＞. 二、平方法 基本思路:先将两个要比较的数分别平方,再根据根式性质“a＞0,b＞0时，可由＞得到a＞b”来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小. 【例2】 比较和的大小. 分析:这道题目是由简单的有理数和无理数构成的实数式,若想分开比较,其各自的大小也能比较出大小即2=＞,＜=,只是不能比较出和的大小,故要改变思路,考虑其他方法.此时观察两个要比较的数和分别平方得到,，这样的话，两数的大小就显而易见了. 解: ∵ ,, 显然＜, ∴＜. 三、求差法 基本思路:设a、b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据根式性质“当a－b＜0时.a＜b；当a－b=0时，a=b；当a－b＞0时，a＞b”来比较a与b的大小. 【例3】 比较和的大小． 分析：观察、这两个无理式，用上述的移动因式法、平方法不能解决二者的大小比较问题，再仔细观察，其实只要两式相减就可达到解决问题的目的，即，这时知道无理式大于零，即能比较出它们的大小了． 解：由题意可知 将两式相减，得 ＞0， 故＞． 四、求商法 基本思路：设a、b为任意两个实数（假设b为分子且不为零），先求出a与b的商，再根据根式性质“当＜1时，a＜b；当 =1时，a=b；当＞1时，a＞b”来比较a与b的大小． 【例4】 比较和的大小． 分析：有些同学看到不常见的数如、…，就会产出畏惧心理，有畏难情绪，其实不然，我们只要仔细观察题目就会发现总有突破之处，比如本题看到分别位于分子、分母，想办法把去掉或者把根号去掉，我们尝试一下：（1）如果两式相乘得到3，比较不出二者的大小，不能达到解决问题的目的；（2）如果 和两式相除就可以把根号去掉，变成我们相对熟悉的数，而=3.14159265358…这是同学们在小学就知道的，得到大于1，这时我们就可以比较出和的大小了． 解：由题意可知 由＞1，得到＞． 五、倒数法 基本思路：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当＜时，a＞b；当=时，a=b；当＞时，a＜b”来比较a与b的大小。 【例5】 比较和的大小． 分析：对于本题，用上述的方法都不能比较出二者的大小，虽然式子简单但却不是那么容易做出来的．我们可以看到两式中的两个无理数有个共同点，就是实数式中减数和被减数根号内的有理数都只相差1，那么可以想到用它们的倒数，，这时显然＞，再根据倒数的性质可以得到＜，从而达到解决问题的目的． 解；由题意可知 由可得， 由可得， ∵＞， ∴＜． 六、分子或分母有理化法 基本思路：设、（a、c为不是零的任一正实数，b、d为任一非负实数），根据分式本身的特性，使得分子或分母化成有理数，再根据分数的有关性质比较出和的大小． 【例6】 比较和的大小． 分析：仔细观察两式，发现各式分子和分母间、两式都有特殊的关系，虽然不是简单的倒数关系但是比较一下发现有如下关系， ，根据题目给出的式子，我们可以给它们变形一下：的分子和分母同时乘以，的分子和分母同时乘以，这样两式不但大小不变而且分母都是2，便于比较，再经过约分变形后的两式分别等于，，这样的话，两式谁大谁小，不言自明． 解：由题意可得 ， ， ∵4＜6，＜， ∴＜. 当然，比较二次根式大小最简捷的方法是借助计算器,在没有计算器时,我们只要根据根式(主要是二次根式)的特点来选择比较的方法,以上只是列举了一些比较常用、基本的方法，同时也是十分重要的方法，还有一些不常用但也是不错的方法比如说:比中间量法（已知0＜a＜1，比较与的大小，运用中间量 “2”就能比较出二者的大小）、特殊值法、数形结合法、放缩法、运用基本不等式法、运用隐含条件（比较和的大小，求出a的取值范围即能知道谁大谁小了）．解题时应根据题目的自身特点选用恰当的方法,在我们解决一道题目的过程之中,有时会不知不觉将几种方法揉和在一起运用,而不是单纯地用某一种方法.反过来，一道题目同样可以有多种解法，比如下题： 七、放缩法