2005年全国高中数学联赛一.doc

2005年全国高中数学联合竞赛试题（一）及参考答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．使关于的不等式有解的实数k的最大值是 （ ） A． B． C． D． 解：令，则 实数k的最大值为选D. 2．空间四点A、B、C、D满足的取值 （ ） A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 解：注意到32+112=130=72+92，由于，则 DA2= =AB2+BC2+CD2+2（+ =， 即，只有一个值0，故选A. 3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延 长后分别交此圆于A1、B1、C1， 则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 解：如图，连BA1，则AA1=2sin(B+ 同理 原式=选A. 4．如图，ABCD—为正方体，任作平面a与对角 线AC′垂直，使得a与正方体的每个面都有公共点， 记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（ ） A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥A—A′BD与C′—后，得到一个以平行平面A′BD与为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个 ，而多边形W的周界 展开后便成为一条与平行的线段（如图中）， 显然，故l为定值. 当E′位于中点时，多边形W为正六边形，而当E′移至A′处时，W为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为，故S不为定值.选B. 5．方程表示的曲线是 （ ） A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 解：， 即，又， 方程表示的曲线是椭圆. ）……（*） 即.曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C. 6．记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 （ ） A． B． C． D． 解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以74，得 ， M′中的最大数为[6666]7=[2400]10. 在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396，而[396]10=[1104]7将此数除以74，便得M中的数.故选C. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．将关于的多项式表为关于y的多项式，其中，则. 解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得： 令，取有 8．已知是定义在（0，+∞）上的减函数，若成立，则的取值范围是 解：∵在（0，+∞）上定义，又 ，仅当或时， 在（0，+∞）上是减函数， 结合（*）知. 9．设、、满足， 若对于任意 ，则 解：设， 即 ∵，， 又 另一方面，当，有， 记，由于三点 构成单位圆上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有即 10．如图，四面体DABC的体积为，且满足∠ACB=45°， AD+BC+，则CD=. 解：， 即又，时成立，这时AB=1，AD⊥面ABC，∴DC=. 11．若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为 80 . 解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标C（）、D（），则CD所在直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，得 令正方形边长为a，则 ① 在上任取一点（6，－5），它到直线的距离为 ② ①、②联立解得 12．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有“吉祥数”从小到大排成一列 解：∵方程的非负整数解的个数为而使）的整数解个数为现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为P（k）=. ∵2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且P（1）==1，P（2）==7， P（3）==28，对于四位“吉祥数”1abc，a+b+c=6的非负整数解个数， 即=28个. ∵2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即从而n=65，5n=325. 又P（4）=，而 ∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52000. ∴第325个“吉祥数”是52000，即 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．数列{满足： 证明：（1）对任意为正整数；（2）对任意为完全平方数. 证明：（1）由题设得且{严格单调递增，将条件式变形得， 两边平方整理