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第五讲:奇偶分析 41 第五讲:奇偶分析 通过数字奇偶性的分析而获得重大进展的解题方法,称为奇偶分析;奇偶分析是奥林匹克数学的重要技巧. 奇偶定义:把全体整数按被2除的余数分为两类:被2除余数为0整数的称为偶数,一般表示为2k(k为整数);被2除余数为1整数的称为奇数,一般表示为2k+1(k为整数); 奇偶性质:①奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数;奇数个奇数的和是奇数,偶数个奇数的和是偶数,任意个偶数的和是偶数;②两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性;若两个数的和或差为偶数,则这两个数具有相同的奇偶性;如果两个整数的和或差是奇数,那么这两个数中必有一个奇数,一个是偶数;③奇数×奇数=奇数,偶数×偶数=4的倍数,偶数×整数=偶数;奇数的因数都是奇数;偶数的因数中,至少有一个是偶数;④两个连续整数的积是偶数;如果偶数被奇数整除则商为偶数; 平方性质:奇数的平方被4除余1,偶数平方为4的倍数;奇数的平方被8除余1,奇数的4次方被16除余1; 奇偶分析:奇偶分析也常表现为染色,把一个图形染成黑白两色,往往可视为其中一色为奇数,另一色为偶数;也可视为用+1与-1(或1与0)标号,……总之,在分成两类对问题进行讨论时,常常可以看成是在进行奇偶分析. 1.奇偶问题: [例1]:(2011年全国高中数学联赛吉林预赛试题)已知a1,a2,…,a20l1是一列互不相等的正整数.若任意改变这2011个数的顺序,并记为b1,b2,…,b2011.则数M=(al-b1)(a2-b2)…(a201l-b2011)的值必为( ) (A)0 (B)1 (C)奇数 (D)偶数 [解析]:假设M是奇数,则ai-bi(i=1,2,…,2011)必定都是奇数,其和也是奇数,但(a1-b1)+(a2-b2)+…+(a2011-b2011)=(a1+a2+ …+a2011)-(b1+b2+…+b2011)=0为偶数,矛盾.故M是偶数. 此类问题最早出现在(1906年匈牙利数学奥林匹克试题)假设a1,a2,…,an是数1,2,…,n的某种排列.证明:如果n是奇数,则乘积(a1-1)(a2-2)…(an-n)是偶数. 后又出现在(1968年英国数学奥林匹克试题)设a1,a2,…,a7是整数,b1,b2…,b7是它们的一个排列.证明:(a1-b1)(a2-b2)…(a7-b7)是偶数. 该类问题的一个绝佳变形(1970年第四届全苏数学奥林匹克试题)将某个17位数的数字顺序颠倒,再将得到的数与原来的数相加.证明:得到的和中至少有一个数字是偶数. 证明:取十七位数,颠倒其数字顺序后,所得数为,把两数相加,如果和的各位数字都是奇数,则末位的a1+a17是奇数,但和的首位数字是a17+a1或a17+a1+1(当计算第16位数字时,如果没有进位,则为a17+a1,若有进位,则为a17+ a1+1)的末位数字(如果此和≥10,则此和是一个18位数,其首位为1),若计算第16位时有进位,则第17位数字将是偶数a17+a1 +1(或a17+a1-9),故第16位在计算时没有进位,这说明第16位的a2+a16没有进位,此时,若第二位计算时有进位,则只能进1且由a2+a16=9,a1+a17≥10引起,此时,和的第二位数字为0,与假设矛盾,即a1+a17与a2+a16均不能有进位;去掉a1、a2、a16、a17这4个数字后余下13位数,又可仿上证明,再连续去掉4位数字三次,剩下a9＋a9,只能得偶数,与假设矛盾,从而可知,和的各位数字中至少有一个是偶数. [练习1]: 1.①(1983年全国高中数学联赛试题)设p、q是自然数,条件甲:p3-q3是偶数;条件乙:p+q是偶数.那么( ) (A)甲是乙的充分而非必要条件 (B)甲是乙的必要而非充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 ②(第16届江苏高中数学竞赛试题)已知a、b、c三个数中有两个奇数,一个偶数,n是整数,如果S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+ 3n+3),那么( ) (A)S是偶数 (B)S是奇数 (C)S的奇偶性与n的奇偶性相同 (D)S的奇偶性不能确定 2.①(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)设xi∈{-1,+1},i=1