高数综合练习题一.doc

高等数学综合练习题(一) 1、（总习题八）在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格中。 （1）函数在点可微是函数在点连续且可导的充分条件。函数在点连续是函数在点可微的必要条件。 （2）在点的偏导数存在是在该点可微分的必要条件。 （3）的偏导数在点存在且连续是在该点可微分的充分条件。 （4）函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的充分条件。 2、设函数在点处存在对的偏导数，则（B） (A) (B) (C) (D) 3、曲线上相应于的点处的切线方程是 [ A ] (A) (B) (C) (D) 4、求曲线在对应于处的切线方程. 解：当时，对应曲线上的点是 ， ， 所以切线方程为： 5、求曲面在点处的切平面和法线方程. 解： ，， 所以切平面方程是：即： 法线方程为 6、求曲线，在点处的切线方程。 解：时 则切线方程为 7、曲线在点（0，1，1）处的一个切向量与轴正向夹角为锐角，则此向量与轴正向的夹角是 8、求下列函数的全微分 （1）.; 解： （2）.; 解： （3）.（）. 解： 两端分别对求导 所以 （4） 解： （5） 解: （6） 解： 9、设，而，；求. 解： 10、设，而，；求. 解： 11、设，求。 解： 对两端对分别求导得 -----------① -----------② 对两端对分别求导得-------------③ ------------④ ①②联立求得 ③④联立求得 带入 12、求下列函数的一阶偏导数 （1） ; 解： （2） ; 解： （3） 解： （4） 解： 13、设 ，求，。 设 ，, 则 。 根据对称性 14、设具有连续的二阶偏导数，求. 解： 15、方程组确定隐函数，求 解：由方程组解得 16、函数是由方程确定，求 解： 17、求函数 的极值。 解： ， 令解得驻点 ，。 计算 （1）判定驻点 是否为极值点。 因为，所以不是驻点 同理判定为驻点 又因为 ，所以 是极大点。 其极值为 18、在曲面上求一点，使它到平面的距离最短 解：设曲面上点到平面距离为d， 则且 即 利用拉格朗日乘数法令 得唯一解 由实际问题知最小值存在，即为点 19、要造一个容积为的长方体有盖箱子，问选择怎样的尺寸才能使所用材料最少？（是常数） 解一（化为无条件极值）设箱子的长、宽、高分别为 ，则 表面积为 （1） 容量为 （2） 从（2）中解出代回（1）中 转化为求函数的极值 解二（用拉格朗日乘数法解）：设箱子的长、宽、高分别为 ，则 表面积为 容量为 设拉格朗日函数为 解得 代入式（4）中，得 。 20、积分区域，则二重积分化成先对后对的二次积分是 21、交换下列二次积分的次序： （1） （2） （3） （4） （5） 22、计算其中 是由，， 围成。 解： 23、利用极坐标求解 解： 24、计算，其中是圆环区域：（）； 解：令 25、计算，其中是由圆周、及直线、所围成的在第一象限的闭区域； 解： 26、计算，其中是由所围成的闭区域。 解： 27、（书例题）计算，其中是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域。 解:在极坐标中，闭区域可以表示为 88、设，则 = 解： 29、计算 解： 30、计算下列三重积分： （1），其中：； （2），其中由不等式、所确定. 解： （3），其中由曲面、围成的闭区域 解： 31、用二重积分求由曲线所围成的平面图形的面积。 解： 32、计算由曲面 ，，，， 所围成的立体的体积。 解一：根据二重积分的几何意义所求体积为 其中为在 坐标平面上，由 所围成。 解二：利用三重积分