章节教案八年级数学下分解因式.doc

分解因式 【知识重点】 1.本章重点:用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解. 2、因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算. 例如： (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. 3、因式分解常用解题方法有： (1)提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流 下列变形是否是因式分解？为什么， (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2； (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn. 点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. (2)不是因式分解，不满足因式分解的含义 (3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等. (4)不是因式分解，是整式乘法. (2)公式法 (1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2. 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式. 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2. 探究交流 下列变形是否正确？为什么？ (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)； (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2； (3)x2-2x-1=(x-1)2. 点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解. (2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解. (3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解. (3)分组分解法 (1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b) (2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2 =(x+1)2-y2 =(x+y+1)(x-y+1). 把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. 知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一. 例如：将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种： 方法1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 方法2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b). (2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式. 例如：am+an+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式. 分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有： (1)按字母分组； (2)按次数分组； (3)按系数分组. 例如：把下列各式因式分解. (1) am+bm+an+bn； (2)x2-y2+x+y； (3)2ax-5by+2ay-5bx. 4、关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 事实上：x2+(p+q)x+pq =x2+px+qx+pq =(x2+px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q). ∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式. 例如：把x2+3x+2分解因式. (分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子. 解：x2