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对数学教材中折纸活动的一些探究 2010年第12期(中旬) 中学毅学教学参考 对数学教材中_÷ 论教谈单峨瓠颦 折纸话动的一些探究…… 沈忠良(江苏省吴江市铜罗中学) 教材中的折纸活动为学生提供了从事数学活动 的机会,符合新课改在玩中学,在学中思,在思中得 的全新理念.看似简单的折纸过程,其中蕴涵着丰富 的数学知识,所以教师应帮助学生充分挖掘教材中的 折纸活动所隐含的数学规律和解题策略,这样不仅能 提高学生的实践能力和思维能力,还能培养学生的创 新意识.下面以几种常见的几何图形为基础,笔者结 合自己的教学实践,谈一谈对教材中折纸活动的一些 细微探究与思考. 1用三角形纸片折纸 苏科版《数学》七年级下册教材中,三角形的内 角和是通过撕开三角形纸片的三个角再拼合成一个 平角的方式来验证的,这样操作后三角形纸片就缺少 了完整性.能否不撕开纸片也能验证三角形内角和定 理呢?事实上在学过三角形的中位线定理后是可以 实现的. 活动1 教师:给你一张任意的三角形纸片,你能否运用 折纸的方法验证三角形内角和定理? (学生动手尝试折三角形纸片) 学生1:如果用一张直角三角形纸片(如图1)可 以把两个锐角折到直角顶点处,那么两个锐角刚好拼 成一个直角,所以三个内角的和相当于两个直角的 和,即为18O.. l围2 学生2:也可以将三个角的顶点都折到斜边上一 点处(如图2),先折出斜边上的高线,记垂足为H,那 么就可以把三个角的顶点都折到点H处,这样三个 角就拼合成一个平角了. 教师:很好.大家猜想折痕MN是否平行于BC, 测量图中线段AM与BM,A『\,与CN的长度后,你会 有什么发现?如果不用直角三角形纸片,你怎么折叠 才能验证三角形内角和定理呢? 学生3:我发现AM—BM,AN=CN,即点M,N 分别是三角形两条边的中点,所以线段MN是 AABC的中位线.因此,对于任何一个三角形纸片, 只要以一条中位线为折痕先折叠一个角,那么另两个 角就可以顺利地再次折到第一个角的顶点处,从而拼 合成一个平角. 教师:很好,这位同学已经完整地概括了通过折 纸验证三角形内角和定理的方法,说出了问题的关键 (掌声). (在学生意犹未尽之时,笔者发现图1与图2还 有可用之处) 教师:在图1和图2中,折痕与三角形的边围成 的四边形是矩形吗?为什么? (学生又开始思考) 学生4:图1中四边形MCDN是矩形. (学生4板书证明过程略). 学生5:图2中四边形MDEN也是矩形. 教师:很好.观察图1与图2,矩形的面积与它的 外接三角形的面积有何关系? 学生6:矩形的面积是外接三角形面积的一半. 教师:如图2,你能在AABC内部折出面积更大 的矩形吗?为什么? (学生动笔计算) 学生7:不能折出面积 更大的矩形.如图3,作BC 边上的高AH,设AH—h, 1 BC=a,则SAABC一去口,设 折痕MN—z,则根据图3 △AMNcoAABC得AF一～hz,. ? .MD—FH—AH — AF=h一～hcc a,. ? . 5矩形一z(一a)===一a+^z,,, 由二次函数的性质得,当z一a,即MN=丢Bc 时,矩形MDEN的面积最大, . . 利用三角形纸片的一条中位线折出的内接矩 时 教 咚论教谈学时变教恢罕 学 形面积最大. 思考:本活动主要是借助验证三角形内角和的机 会,对问题进行拓展与延伸.在数学课中落实延伸与 拓展是新课标的一项基本要求,因为有了延伸与拓 展,课堂才能真正做到开放,高效,学生才能明白知识 的来龙去脉及其与社会的广泛联系.对教材进行适当 的拓展与延伸,有利于不同层次学生的发展,有利于 提高优生的认知水平;借助学习方式的改变,学习问 题的开放,才能促进学生的成长.另外,活动1中最后 探究矩形的最大面积时,教师可以运用几何画板, 促进学生对数学问题的理解,也有助于数学探究活动 的顺利开展. 传统的教学方式难以给学生创造出动手实验,直 觉判断,合情推理的认知过程,也不能为学生提供根 据自己的能力得到不同层次结论的机会.而相比之 下,折纸活动能有助于激励每一个学生参与到力所能 及的探索中,它能给学生提供仔细观察,广泛联想,多 方向,多角度,多层次思考问题的机会,因此它是发展 学生高层次思维品质的有效材料.在折纸过程中去体 验数学研究中的一些方法,其研究趣味浓,探索性强, 学生能通过观察,尝试,猜测,转移,类推,特殊化等途 径去认识其中的数学原理,同时也培养了学生树立一 种多角度,多方法解决问题的数学观.因此,课堂教学 中可适当地组织折纸活动,引导学生手脑并用,以动 促思,这有利于训练学生思考问题的灵活性与深 刻性. 2用矩形纸片折纸 苏科版《数学》八年级上册教材中等角对等边 的探索是通过折纸的方式进行的.它巧妙地运用了矩 形纸片的对边平行以及角相等这些关系.