《数学月刊》同步讲台第4课.doc

同步讲台 第4课 充要条件 ● 考点有哪些信誉好的足球投注网站 1.能判断真假的语句叫做命题，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式有三种，分别表示为p或q,p且q,非p. 2.填写真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p且q （真） （假） （假） （假） p或q （真） （真） （真） （假） 非p （ 3.设原命题的形式为:若p则q,则其逆命题形式为若q则p;否命题形式为若p则q,逆否命题形式为若q则p. 4.p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则称p是q的充要条件. ● 实例点津 【例1】 已知P:在△ABC中,sin(A+B-C)=sin(A+C-B);q:△ABC是A为顶点的等腰三角形.说明p是q的什么条件，并证明你的结论. 【点津】 化简等式，分别考察pq,qp是否成立. 【解答】 p是q的必要不充分条件. 证明：由p知:sin(π-2C)=sin(π-2B) sin2B=sin2C取B=,C=则满足sin2B=sin2CABC不是等腰三角形，∴pq. 又由q知:△ABC是A为顶点的等腰△,故2B=2Csin(π-2B)=sin(π-2C) sin(A+B-C)=sin(A+C-B),∴qp. 综上所述知:p是q的必要不充分条件. 【归纳】 欲证pq,举“反例即可”，这叫做:“肯定结论须证明，否定结论举反例.” 【例2】求关于x的不等式ax 2-ax+10的解集为R的充要条件. 【点津】 依首项系数a的正、负、零而定. 【解答】当a=0时，不等式的解集为R; 当a0时，化原不等式为x2-x+0,其解不可能是R; 当a0时,由. 综上所述知:原不等式的解集为R的充要条件是:0≤a4. 【归纳】 对“寻找”出来的“充要条件”，要注意“检验”. 【例3】 已知条件p:A={x|x2-(a+1)x+a≤0},条件q:B={x|x2-3x+2≤0},当a为何值时: ①p是q的充分不必要条件 ②p是q的必要不充分条件 ③p是q的充要条件 【点津】 化简集合A,集合B,并注意pq与AB的等价性. 【解答】 由p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},由q:B=［1,2］. ①∵p是q的充分不必要条件,∴AB且A≠B,故A=［1,a］1≤a2. ②∵p是q的必要不充分条件.∴BA且A≠B,故A=［1,a］且a2a2. ③∵p是q的充要条件,∴A=Ba=2. 【归纳】 当命题的形式是集合时，其充分条件和必要条件的判定，就是集合包含关系的判定. 【例4】 证明：f (x)=x2+2mx+1的图像与x轴正半轴至少有一个交点的必要不充分条件是:m2≥1. 【点津】 原命题等价于:关于x的方程x2+2mx+1=0至少有一个正根的必要不充分条件是:m2≥1. 【解答】 若关于x的方程x2+2mx+1=0有正实根，则Δ≥0m2≥1,故必要性成立. ∵m=1时,方程x2+2x+1=0无正根，故充分性不成立. 综上所述知:关于x的方程x2+2mx+1=0至少有一个正根的必要不充分条件是m2≥1,亦即原 命题成立. 【归纳】 “等价转化”是重要的数学思想方法. ● 对应训练 一、选择题 1.已知全集为U,M,N U,则“MN”是“M∩U N= ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“p且q成立”是“p或q成立的” ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设|a|·|b|≠0,则向量a∥b是向量a=b的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.非零向量a, b共线的充要条件是 ( ) A. a+b=0 B. a-b=0 C.| a|=|b| D.存在实数λ,使得a=λb 5.已知P:(x-1)(y+1)·(z+2)=0, Q:(x-1)2+(y+1)2+(z+2)2=0 (x, y, z∈R)，则P是Q成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.平面内一动点P到两定点A、B距离之差的绝对值为2004是“P的轨迹是双曲线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.设条件p:关于x的方程:(