第二章第13讲导数与函数的极值、最值及实际应用 - 教师.doc

第13讲　导数与函数的极值、最值及实际应用 1．辨明两个易误点(1)求函数极值时误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值注意函数最值是个“整体”概念而极值是个“局部”概念．明确两个条件一是f′(x)0在(a)上成立是f(x)在(a)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数f(x)(x0)＝0是函数f(x)在x＝x处有极值的必要不充分条件． 1．函数f(x)的定义域为R导函数f′(x)的图象如图所示则函数f(x) 有个极大值点、个极小值点两两设函数f(x)＝x则＝为f(x)的极值点－1小函数y＝－x在x∈(0]上的最大值为－1函数y＝2x－2x在区间[－1]上的最大值是________．8已知x＝3是函数f(x)＝a＋x－10x的一个极值点则实数a＝________．12 考点一　函数的极值问题(高频考点)函数的极值是每年高考的热点一般为中高档题三种题型都有高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)知图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值．　设函数f(x)＝ax－2x＋x＋c(a≥0)．(1)当a＝1且函数图象过点(0)时求函数的极小值；(2)若f(x)在(－∞＋∞)上无极值点求a的取值范围．[解]　f′(x)＝3ax－4x＋1.(1)函数图象过点(0)时有f(0)＝c＝1.当a＝1时(x)＝3x－4x＋1令f′(x)0解得x或x1；令f′(x)0解得所以函数f(x)在和(1＋∞)上单调递增；在上单调递减f(1)＝1－2×1＋1＋1＝1.(2)若f(x)在(－∞＋∞)上无极值点则f(x)在(－∞＋∞)上是单调函数即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．当a＝0时(x)＝－4x＋1显然不满足条件；当a0时(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)－4×3a×1≤0即16－12a≤0解得a≥综上的取值范围为 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)先求函数的定义域再求函数y＝f(x)的导数(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号如果左正右负那么f(x)在这个根处取得极大值如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同则此根处不是极值点. 　1.(1)设函数f(x)＝＋则f(x)的极小值点为(　　) (2)已知a是实数和－1是函数f(x)＝x＋ax＋bx的两个极值点．求a和b的值；设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2求g(x)的极值点．解：(1)因为f(x)＝＋所以f′(x)＝－＋(x0)由f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0)时(x)0，f(x)为减函数；当x∈(2＋∞)时(x)0，f(x)为增函数．所以x＝2为f(x)的极小值点．(2)①由题设知f′(x)＝3x＋2ax＋b且f′(－1)＝3－2a＋b＝0(1)＝3＋2a＋b＝0解得a＝0＝－3.将a＝0＝－3代入检验知符合题意．由①知f(x)＝x－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)(x＋2)所以g′(x)＝0的根为x＝x＝1＝－2于是函数g(x)的极值点只可能是x＝1或x＝－2.当x－2时(x)0；当－2x1时(x)0，故x＝－2是g(x)的极小值点．当－2x1或x1时g′(x)0，故x＝1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极小值点为x＝－2无极大值点．考点二　函数的最值问题　已知函数f(x)＝x－(a0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值．[解]　(1)f(x)＝x－(a0)，则f′(x)＝1－a令f′(x)＝1－a＝0则x＝. 当x变化时(x)，f(x)的变化情况如下表： ln f′(x) ＋ 0 － f(x) 极大值 故函数f(x)的增区间为；减区间为(2)当≥，即0a≤时(x)max＝f＝－当ln，即时(x)max＝f＝－当n≤，即a≥时(x)max＝f＝－ 求函数f(x)在[a]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a)内的极值； (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)(b)比较其中最大的一个为最大值最小的一个为最小值．　2.设函数f(x)＝a－bx(x0)，若函数(x)在x＝1处与直线y＝－相切．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)在上的最大值．解：(1)f′(x)＝－2bx因为函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切所以解得(2)f(x)＝－(x)＝－x＝因为当时令f′(x)0得；令f′(x)0得1x≤所以f(x)在上单调递增在[1]上单调递减所以f(x)＝f(1)＝－考点三　利用导数研究生活中的优化问题　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米高为h米体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关侧