17.等差数列及其前n项和.ppt

* * 要点梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的 通项公式是 . 等差数列及其前n项和 从第二项起每一项与它相邻前面一项 的差是同一个常数 公差 d an=a1+（n-1）d 基础知识 自主学习 3.等差中项 如果 ，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am+ ，（n， m∈N*）. （2）若{an}为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m， n∈N*），则 . （3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等 差数列，公差为 . （4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是 . 2d ak+al=am+an (n-m)d 等差 数列 （5）若{an}是等差数列，则ak，ak+m， ak+2m，…（k，m∈N*）是公差为 的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn= 或Sn= . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= . 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的 ，即Sn= . md An2+Bn，（A2+B2≠0） 二次函数或一次函数且不含常数 项 7.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最 值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最 值. 8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质 （1）若{an}是等差数列，则 也成 数列， 其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 . （2）Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项， 前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成 数列. 小 等差 等差 大 （3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 ①若项数为2n，则S偶-S奇= ， = . ②若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= an，S奇- S偶= ， (4)两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间 的关系为： = . nd n an 基础自测 1.（2009·辽宁文，3）{an}为等差数列，且a7- 2a4=-1,a3=0,则公差d= （ ） A.-2 B. C. D.2 解析 根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1, ∴a1=1.又∵a3=a1+2d=0,∴d= B 2.已知数列{an}中,a1=1, 则a10等于（ ） A. B. C. D.以上都不对 解析 由a1=1, 得 为等差数列. ∴ ∴ B 3.（2009·福建，3）等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于 （ ） A.1 B. C.2 D.3 解析 设{an}首项为a1,公差为d, 则S3=3a1+ d=3a1+3d=6, a3=a1+2d=4,∴a1=0,d=2. C 4.已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6+a7+a8 等于 （ ） A.6 B.9 C.12 D.18 解析 由S13= =13a7=39得a7=3， ∴a6+a7+a8=3a7=9. B 5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 则 等于 （ ） A.1 B.-1 C.2 D. 解析 由等差数列的性质， A 题型一 等差数列的判定 【例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn (p、q∈R，且p、q为常数). （1）当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列； （2）求证：对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数 列. (1)由定义知,{an}为等差数列,an+1-an 必为一个常数. (2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数. 思维启迪 题型分类 深度剖析 (1)解 an+1-an=［p(