第59讲空间中的角度.ppt

第59讲 空间中的角度 复习目标： 1.理解并掌握空间有关角度的定义； 2.学会从几何角度和向量方法求解有关角度的方法. 一、直线与直线 1.直线与直线所成的角 (1)相交直线所成的角 定义及范围： (2)异面直线直线所成的角 定义及范围： 疑难释疑 Q1：如何求异面直线所成的角？ 求异面直线所成的角方法主要有两种： 定义法(平移法)与向量法. 平移法主要是根据异面直线夹角的定义，经过 平移、找角、求角(一般要借助解三角形),同时注意 夹角的范围； 向量法主要是通过向量的夹角公式，通过向 量数量积与模的运算求角，同时也要注意夹角的 范围. 例题讲解 例1.直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=90o,点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA= CC1 ,则BD1与AF1所成角的余弦值是____. 二、直线与平面 2.直线与平面所成的角 (1)定义： 平面的一条斜线与它在 这个平面内的射影所成的角. (2)范围： 疑难释疑 Q2.如何求直线与平面所成的角 求直线与平面所成的角主要有两种： 定义法和向量法. 定义法：先找到垂线作出斜线在平面内 的射影，找出线面角，在求解直角三角形。 向量法：先求出斜线所在的向量以及平 面的一个法向量的夹角,再求出该角的余角. 例题讲解 例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点. (1)证明:PA//平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值. 三、平面与平面 3.平面与平面所成的角 (1)二面角定义: 从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角. (3)范围： 疑难释疑 练习:在四面体ABCD中，ΔABD, ΔACD, ΔDBC,ΔABC都全等，且AB=AC= , BC=2,求二面角A-BC-D的大小. 疑难释疑 Q3.如何求二面角的大小？ 求二面角的方法一般有：几何法和向量法. 几何法：定义法，三垂线法，垂面法,射影面积法； 向量法：(1)法向量法；(2)棱垂向量法. 例题讲解 例3.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD. (1)证明:AB⊥平面VAD； (2)求面VAD与面VDB所成二面角的大小. 综合选讲 例4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角，AB//CD，AD=CD=2AB，E,F分别为PC、CD的中点. (1)试证:CD⊥平面BEF； (2)设PA=k AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30o,求 k 的取值范围. * O a b c d c o B1 C1 A1 B C A D1 F1 E 法一：定义法 法二：向量法 x y z θ B A P α E P A B C D O H 法一：定义法 法二：向量法 x y z α β l O A B θ D A B C E θ θ O x y z V A B C D E P A B C F D E H M M A B C D F H x y z *