高等数学教案51-52.doc

第51-52课时教案 教学方法 第一时段：复习讲授（约45分钟） 1、复习 1、什么是最大值？ 提问学生 2、什么是最小值？ 2、讲授 4.1曲线的凹凸与拐点 引导法可以增加学生学习兴趣，活跃课堂气氛 定义3.2 设函数 在区间 内，曲线弧位于其任意一点切线的上方，则称曲线在 内是凹的；设函数在区间 内，曲线弧位于其任意一点切线的下方，则称曲线在 内是凸的. 如图所示 由前面两图可以看出，如果曲线是凹的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐增大，即函数 是单调增加的．如果曲线是凸的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐减小， 即函数 是单调递减的．而 的单调性可由 的符号决定，故曲线 的凹凸性与的 符号有关． 定理 设函数 在区间内二阶导数 存在． (1)如果在 内 ，那么曲线 在 内是凹的； (2)如果在 内 ，那么曲线 在 内是凸的． 二.曲线的拐点 定义3.3 连续曲线上凹凸的分界点称为这条曲线的拐点．由拐点的定义可知，拐点是曲线凹凸的分界点，因此，在拐点左右近旁 必然异号，而在拐点处 或 不存在．因而我们可以利用二阶导数 的符号来判别曲线的拐点． 判定曲线拐点的步骤为: (1)确定函数 的定义域； (2)求出 ，解出使 和 不存在的所有点 ； (3)对解出的每一个点 ，考察 在 左右近旁的符号，如果 的符号相反，那么 就是拐点；如果 的符 符号相同，那么 就不是拐点． 4、典型例题精讲： 例1、曲线的凹向区间与拐点. 解： 　 　 　 　 　 　 　 下凹的 　 　上凹的 　 　下凹的 故曲线在区间，为下凹的，在区间为上凹的； 拐点为. 例2、作出函数y=xe-x的图形 解（Ⅰ）y=xe-x的定义域为（-∞，+∞） y′=（1-x）e-x，y″=（x-2）e-x （Ⅱ）令y′=0 x=1，令y″=0 X=2 用x=1，x=2，将Ⅲ（-∞，+∞）分为三部分（-∞，1），[1，2]，[2，+∞] Ⅲ（-∞，1）上，y′＞0，y″＜0，∴f（X）的图形在（-∞，1）上是单增的，且是凸的 在[1，2]上，y′＜0，y″＜0，∴f（x）的图形在（1，2）上是单减的，且是凸的 在[2，+∞]上，y＜0，y″＞0，∴f（x）的图形在[2，+∞]是单减的，且是凹的。 进而得x=1为极大点，x=2为拐点 （Ⅳ）当x→+∞时xe-x→0, ∴y=0是水平渐近线，当x→-∞时xe-x→-∞ （Ⅴ）f（1）=e-1，f（2）=2·e-2，f（0）=0，从而得四个点的f（-1）=-e坐标（0，0），（1，1/e），（2，2e-2），（-1，-e） 将（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的结果列成下表： X （-∞，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞） y′ + 0 - - - y″ - - - 0 + Y=f（X）的图形 ↗凸 极大 ↘凸 拐点 ↘凹 师生互动 第二时段：指导练习题（约25分钟） 一、填空： 1、连函数有可能取得极值的点包含（ ） 2、在连续曲线上,上凹与下凹曲线孤的分界点,称为曲线的（ ）、3、3、 二、判断 1、二阶导数等于零的点,都是拐点. ( ) 2、不存在的点,也可能是拐点. ( ) 3、可导函数的极值点必是驻点.驻点必是极值点. ( ) 对三进行讲解 第三时段：当堂测验题（约20分钟） 一选择 （ ） 25、（ ） 检测目的： 检测学生对不定积分概念的掌握程度