现代数值计算方法实验二.doc

实验二 线性方程组直接实验 一、实验目的 1.运用matlab软件完成线性方程组的直接实验; 2.通过实验,了解列主元和顺序高斯消去法的异同,LU分解的优点及追赶法的优点. 二、实验题目 1.分别用列主元法和顺序高斯消去法求解下面的线性方程组,分析对结果的影响: . 2.LU分解的优点 实验题目：给矩阵A和向量b: ⑴求A的LU分解,n的值自己确定; ⑵利用A的LU分解求解下列方程组(a)Ax=b, (b)A2x=b, (c)A3x=b. 对方程组(c),若先求LU=A3,再解(LU)x=b有何缺点？ 3.追赶法的优点 实验题目：用追赶法分别对n=10,n=100,n=1000解方程组Ax=b,其中 再用LU分解法解此方程组,并对二者进行比较. 三、实验原理 1.⑴列主元法算法原理： %magauss2.m function x=magauss2(A,b,flag) if nargin3,flag=0;end n=length(b); for k=1:(n-1) %选主元 [ap,p]=max(abs(A(k:n,k))); p=p+k-1; if pk t=A(k,:); A(k,:)=A(p,:); A(p,:)=t; t=b(k); b(k)=b(p); b(p)=t; end %消元 m=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k); A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1); if flag~=0, Ab=[A,b], end end %回代 x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end ⑵顺序高斯消去法算法原理： %magauss.m function x=magauss(A,b,flag) if nargin3,flag=0;end n=length(b); %消元 for k=1:(n-1) m=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k); A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1); if flag~=0, Ab=[A,b], end end %回代 x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end 2.LU分解算法原理： %LU分解 function [l,u]=lufj(A) [n,m]=size(A); u=zeros(n,n);l=eye(n,n); u(1,:)=A(1,:); l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1); for k=2:n u(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n); l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k); end %解下三角方程组Ly=b function y=lowt(l,b) n=length(b); y=zeros(n,1); y(1)=b(1); for k=2:n y(k)=b(k)-l(k,1:k-1)*y(1:k-1); end %解上三角方程组Ux=y function x=upt(u,y) n=length(y); x=zeros(n,1); x(n)=y(n)/u(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(y(k)-u(k,k+1:n)*x(k+1:n))/u(k,k); end malu.m function [x,l,u]=malu(A,b) %用途：用LU分解法解方程组Ax=b %格式：[x,l,u]=malu(A,b) A为系数矩阵，b为右端向量，x返回 % 解向量，l返回下三角矩阵，u返回上三角矩阵 format short %LU分解 n=length(b); u=zeros(n,n);l=eye(n,n); u(1,:)=A(1,:); l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1); for k=2:n u(k,k