第一章：函数与极限_高等数学.doc

第一章：函数与极限本章内容简介 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学则以变量为研究对象。所谓函数关系就是变量之间的依赖关系。极限方法则是研究变量的一种基本方法。本章将介绍变量、函数和极限的概念，以及他们的基本性质。1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数　（? 是常数）　叫做幂函数。 幂函数的定义域，要看? 是什么数而定。例如，当? = 3时，的定义域是(-? ,+? )；当? = 1/2时，的定义域是[0,+ ? )；当? = -1/2时，的定义域是(0,+ ? )。但不论? 取什么值，幂函数在(0,+ ? )内总有定义。 最常见的幂函数图象如下图所示： 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数　（a是常数且a0,a? 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-? ,+? )。 因为对于任何实数值x，总有，又，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。 若a1，指数函数是单调增加的。 若0a1，指数函数是单调减少的。 由于，所以的图形与的图形是关于y轴对称的（图1-21）。 2．对数函数 指数函数的反函数，记作 （a是常数且a0，? a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+? )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+? )内函数值为正。 若0a1，对数函数是单调减少的，在开区间(0,1)内函数值为正，而在区间(1,+? )内函数值为负。 1.1.3 三角函数与反三角函数 1．三角函数 正弦函数和余弦函数都是以2? 为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-? ,+? )，值域都是必区间[-1,1]。 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 正切函数和余切函数都是以? 为周期的周期函数，它们都是奇函数。 2．反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。 这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。例如，把Arcsinx的值限制在闭区间[-，]上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinx。这样，函数y = arcsinx就是定义在闭区间[-1，1]上的单值函数，且有 。 1.2 ?数数列极限的概念 设{}是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N，当nN时都有，我们就称a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛，且收敛于a，记为，a即为的极限。 数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全部落在这个区间内。 1.3 函数极限的概念 设函数f(x)在点附近（但可能除掉点本身）有定义，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时，总有，我们就称A是函数f(x)在点的极限，记作,这时称f(x)在点极限存在，这里我们不要求f(x)在点有定义，所以才有。 例如：，当x=1时，函数是没有定义的，但在x=1点函数的极限存在，显然等于2。 1.4 单调有界数列必有极限 单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下： 如果数列满足条件 ， 就称数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。 在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。 对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义）。但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。 从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。 考虑数列，易证它是单调增加且有界（小于3），故可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它，即　。 可以证明，当x取实数而趋于或时，函数的极限存在且都等于e，这个e是无理数，它的值是　e = 2.718281828459045 1.5 柯西（Cauchy）极限存在准则 我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件。 柯西（Cauchy）极限存在准则　数列收敛的充分必要条件是： 对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当mN，nN时，就有 　。 必要性的证明　设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数N，当nN时，有； 同样，当mN时，也有　。 因此，当mN， nN时，有 　　　　　　 所以条件是必要的。 充