2008年考研数学一数学二全解析.doc

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数，则的零点个数（ ） 0 1 2 3 解：. 分析： ，恒大于0，所以在上是单调递增的. 又因为，根据其单调性可知只有一个零点. （2）函数在点处的梯度等于（ ） 解；. 分析：由 所以 （3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ） . . . . 解：. 分析；由可知其特征根为. 故对应的特征方程为 所以所求微分方程为, 选. （4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ） 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. 解： 分析：若单调，则由在内单调有界知，单调有界， 因此收敛,应选. （5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. 解：选 分析：， 故均可逆。 （6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ） 0. 1. 2. 3. 解：选 分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为，故的正特征值个数为1。 （7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . 解：选 分析； （8）设随机变量，且相关系数，则（ ） . . . . 解：选 分析：用排除法 设，由，知道正相关，得，排除、 由，得 排除 故选择 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程满足条件的解是. 解： 分析；由所以，又，所以. （10）曲线在点处的切线方程为. 解：. 分析：设，斜率，在处，，所以切线方程为，即 （11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为. 解：. 分析：由题意知的收敛域为，则的收敛域为. 所以的收敛域为. （12）设曲面是的上侧，则. 解： 分析； （13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为. 解：1 分析： 记可逆，故 与有相同的特征值，，故非零的特征值为1。 （14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则. 解： 分析；因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布， 所以 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分） 求极限 解： (16)（本题满分10分） 计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段. 解： (17)（本题满分10分） 已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点. 解： 得： 得： . (18)（本题满分10分） 函数在连续，，证明在可导，且 . 证 ：设获得增量，其绝对值足够小，使得，则（如图，图中）在处的函数值为： 由此得函数的增量 再应用积分中值定理，即有等式 这里，在与之间，把上式两端各除以，得函数增量与自变量的比值 由于假设连续，而时，，因此。于是，令对上式两端取极限，左端的极限也应该等于，故的导函数存在，并且 (19)（本题满分10分） ，用余弦级数展开，并求的和 解：由为偶函数，则 对 所以 取 ，得 所以 (20)（本题满分11分） ，是三维列向量，为的转置，为的转置 （1）证；（2）若线性相关，则. 解：①为三维列向量，则， ②线性相关，不妨设， （21）（本题满分11分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，， （1）求证 （2）为何值，方程组有唯一解，求 （3）为何值，方程组有无穷多解，求通解 解：① ②方程组有唯一解 由，知，又，故。 记，由克莱姆法则知， ③方程组有无穷多解 由，有，则，故 的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。 又 ，故可取特解为 所以的通解为为任意常数。 （22）（本题满分11分） 设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记 （1）求 （2）求的概率密度． 解：（1） （2）当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 所以 ，则 （23）（本题满分11分） 设是总体为的简单随机样本.记， ， （1）证 是的无偏估计量. （2）当时 ，求. 解：(1) 因为：, ,而 ,所以 T是的无偏估计 (2) ,, 因为 令 所以 因为 且 , 所以 2008年全