三次方程根的探究.doc

三次方程根的个数探究 2009-5-5 对三次方程根的个数的考查实际就是对三次函数的极值(最值)的考查,本质上数形结合思想的综合用用. 一. (,)根的个数探究:此类问题本质是考察函数的极值问题,可利用(三根); (二根); (一根)求解. 定理1．方程根的性质(为的两个根) (1) 若，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根。 证明： (1)(2)：含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数或两极值同号，所以或，且。 (3)：有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且。 (4)：有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 由上易得以下结论： 三次函数在上恒正的充要条件是(m≥x2),或且(mx2) 。 例1:(09大庆一模文):已知函数,且曲线在点处的切线与x轴平行,(1)求实数的值,判断是否存在实数,使得方程恰有一个实数根,若有,求的取值范围,若不存在,请说明理由. 解:略解: 可另问:有两个实数根; 有三个实数根;求b的取值范围 例2: （07全国二理）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：． 解：（1）求函数的导数；． 曲线在点处的切线方程为： ， 即 ． （2）如果有一条切线过点，则存在，使 ． 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根．解略. 二. (,)根的个数探究:此类问题可通过数形结合方法加以解决 例3: (09哈三中一模文)设函数，，当时，取得极值。 (1)求的值，并判断是函数的极大值还是极小值； (2)当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围； 解：（1） , 是函数的极小值； （2）设，则 ， 设， ，令解得或， 列表如下： 4 __ 0 + 则图像如图所示: 显然:.