中學生通訊解題第十一期考解答與評析.docVIP

中學生通訊解題第十一期參考解答與評析 台北市立建國高級中學 數學科 問題編號 901101 在中午12點，時鐘的時針分針與秒針重疊在一起，請問下一次重疊發生在何時？ 參考解答：(1)因為1小時時針轉動30度，分針轉動360度，秒針轉動21600度， 所以中午之後x小時，時針轉動30x度，分針轉動360x度。 中午以後分針第一次追趕上時針時，它剛好比時針多轉動了360度， ? 360x=30x+360 ? x= eq \f(12,11)。 故分針和時針連續兩次重疊的間隔為 eq \f(12,11) 小時。(2)同理，可設秒針和時針連續兩次重疊的時間為y小時 可得 21600y=30y+360 ? y= eq \f(12,719) 故秒針和時針連續兩次重疊的間隔為 eq \f(12,719) 小時。(3)若中午以後h小時，時針、分針、秒針要再重疊，則h必為 eq \f(12,11)、 eq \f(12,719)的整 數倍，即存在正整數u,v，使得h= eq \f(12,11)u，h= eq \f(12,719)v ?719u=11v。 u的最小整數解為11，得h=12。 故下次重疊的時間為午夜12點。 解題重點：1.找出時針、分針、秒針任兩者位置重疊的週期(總共3種，找出兩種即可)。 2.再找出同時為任兩種重疊週期之整數倍的最短時間即為所求。 評析：(1)本題概念並不困難，除對國一尚未熟悉比例單元的學生較難外，對國二、國三的學生中只要熟悉「追趕問題」與「比例問題」即可解決。 (2)大部分答對的同學中都以下面兩種做法完成解答： (a)類似參考解答的方法：以北縣新莊國中潘柏諺、彰化精誠中學國中部沈慧安、北縣江翠國中葉品辰等三位同學的解題方法最能簡潔有力地掌握解題的精要。 (b)先算出時針和分針重疊的所有時間，再將這些時刻的秒針位置一一求出，然後檢驗此時的秒針位置是否與時針、分針重疊，而得到最後的解答。這種解法，以北縣新莊國中吳之堯同學列表分析，最為清晰明快。 (3)新竹光華國中的賴俊儒分析出時針與分針重疊的位置必在時鐘圓周的11等分點處，分針與秒針的重疊位置必在時鐘圓周的59等分點處。這是本題回答者中最富創造思考性的解答方法。 (4)答案正確的學生中，有不少人將「同時為兩分數整數倍」的數字誤以為是兩分數的「最小公倍數」，可見應有不少國中生不明瞭「最小公倍數」只發生在整數間運算的概念，因此這是一個在國中的數學教學中亟待澄清的概念。 (5)本題參答人數有26人，平均得分為4.46分，得分率為64%。 問題編號 901102 圖一圖二以 eq \o(?,AB)為直徑的半圓上，有一弦長固定的弦CD，且 eq \o(?,CD) eq \o(?,AB) ，現在讓C,D在 eq \o(︵,AB)上移動，自C,D作直徑 eq \o(?,AB)上的垂線，E,F分別為垂足，P為 eq \o(?,CD)的中點，(1)如圖一，當 eq \o(?,CD)// eq \o(?,AB)，試問△EFP與△ODC的關係是什麼？△EFP是哪一種 三角形？(2)如圖二，當C,D在 eq \o(︵,AB)上自由移動時，△EFP是哪一種三角形？請說明你的 理由。 參考解答：(1)如右圖，連，因為?POE?DFO 所以?1=?3，又因為，所以?1=?2 可得?3=?2，同理?4=?5。 另外，因為C,D對 eq \o(?,AB)之垂線的垂足為E、F， eq \o(?,CD)// eq \o(?,AB)， 所以 eq \o(?,CD)= eq \o(?,EF)。故?EFP?DCO 因為? eq \o(?,AB)，，所以△EFP為等腰三角形。(2)根據(1)的情形，(1)是(2)的特殊情形，故猜測?EFP是等腰三角形。 如右圖，考慮?OCD與?PFE： 連，因為P為 eq \o(?,CD)的中點，所以? eq \o(?,CD) 又因為 eq \o(?,CE)? eq \o(?,AB)，所以C,E,O,P四點共圓，??1=?2 同理，因為 eq \o(?,DF)? eq \o(?,AB)，所以O,P,D,F四點共圓，??3=?4 故?OCD與?PEF相似， 因為?OCD為等腰三角形，所以?PEF為等腰三角形。評析：(1)本題主要目的在加強學生幾何證明的能力。這次參答學生人數雖然不多，只  有30位。但這些同學的作答品質，過程的陳述都不錯，希望日後有更多同學  參與幾何證明題。(2)答題優良的有：台南市建興國中黃信溢、北市介壽國中蔡佳珍、台北縣江翠