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二元一次方程组 知识梳理 知识点1. 二元一次方程组的有关概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． ?二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 例1.方程是二元一次方程，则的取值为（??? ） 　A、≠0???????? B、≠－1?????????? C、≠1????????? D、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．选B 例2.若二元一次方程有正整数解，则的取值应为（??? ） 　A、正奇数??????? B、正偶数??????? C、正奇数或正偶数??????? D、0 ?解题思路： 由 ， 都是正整数，选A 例3.已知二元一次方程组 的解是,则a+b的值为________。 ?解题思路：根据方程组的定义，把x=2，y=1代入方程组，转化为关于a、b的方程组，解出a与b的值，问题就解决了，也可应用整体思想，直接求出a+b的值。 解：把x=2，y=1代入原方程组， 得 (1)+(2)得3(a+b)=9，∴a+b=3 练习1.已知x、y满足方程组，则x-y的值为 。 2.请写出一个以x，y为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为，这样的方程组可以是-----------。 答案1. x-y=1 2. 答案不惟一。如：；等等。 知识点2.二元一次方程组的解法 ??? 代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法． ??? 加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法． 例1 解方程组 解题思路：因为y的系数绝对值是1，所以用代入消元法解较简单。 解：由②，得y=2x-8 ③ 把③代入①，得3x+2(2x-8)=5 3x+4x-16=5 ∴x=3 把x=3代入③，得y=2×3-8=-2 ∴方程组的解为 x=3 y=-2 ①② 点评：解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度。 ① ② 例2解方程组 解题思路：方程②化为，再用加减法解，答案： ?? 练习 1.解方程组： ??　　? 2. 已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。 答案1. ?2. 知识点3．二元一次方程组的应用 ??对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤： ??? （1）选定几个未知数； ??? （2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； ??? （3）解方程组，得到方程组的解； ??? （4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解． 例1、某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助， 资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困学生（名） 2 3 捐助贫困小学生人数（名） 4 3 （1）求a、b的值； （2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用， 请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中。（不需写出计算过程） 解题思路：本题存在两个等量关系，分别是捐助2名中学生的学习费用+4 名小学生的学习费用＝4000和捐助3名中学生的学习费用＋3名小学生的学习费用＝4200。 解：（1）根据题意，得 解这个方程组，得 （2）初三年级学习捐助贫困中学生人数为4（名）， 捐助贫困小学生人数为7（名）。 例2、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京