二元随机变及其机率分配.docVIP

PAGE258 第 8 章 二元隨機變數其機率分配 第8章 二元隨機變數及其機率分配 8.1 已知、兩隨機變數的聯合機率分配如下： 1 2 3 4 1 1/2 1/2 2 1/2 1/2 3 1/2 1/2 ?試求。SYMBOL 130 \f WingdingsSYMBOL 131 \f Wingdings，彼此獨立嗎？為什麼？ SYMBOL 132 \f Wingdings試求、、、。 解 ? ? ? X與Y不獨立，因為： ， 即。 ? Y/X 1 2 3 4 1 1/9 1/9 1/18 1/18 6/18 2 1/18 1/9 1/18 1/9 6/18 3 1/18 1/18 1/9 1/9 6/18 4/18 5/18 4/18 5/18 1 8.2 下列資料為夫婦均工作的五個家庭的所得資料： 夫（萬元） 1 2 4 5 5 妻（萬元） 1 2 2 3 3 SYMBOL 129 \f Wingdings設現政府對夫妻所得分別課以不同稅率，丈夫為0.4，妻子為0.2，試求夫妻稅後總所得之平均數與變異數。 SYMBOL 130 \f Wingdings試利用柴比氏定理，計算至少包含50%家庭的所得範圍。 SYMBOL 131 \f Wingdings現若將萬元改為千元單位，夫與妻所得的共變數及相關係數與原共變數、相關係數有何不同？ 解 ?， 因此，夫妻稅後總所得之平均數為： 變異數為： ? Z=X+Y 2 4 6 8 f(X+Y) 0.2 0.2 0.2 0.4 ，，  ?共變數為原先之100倍，相關係數與原先的相同。 8.3 某工廠共有員工100名，其受教育年限與月薪資的資料如下： 月薪資 教育年限 10,000~15,000元 15,000~20,000元 20,000~30,000元 9年 40 20 10 12年 10 10 10 SYMBOL 129 \f Wingdings試利用上述資料計算該工廠員工薪資水準與變異程度。 SYMBOL 130 \f Wingdings令薪資，教育年限，試求，之聯合機率分配（註：薪資以組中點為代表）。 SYMBOL 131 \f Wingdings試求條件機率分配，並求其平均數及變異數。 SYMBOL 132 \f Wingdings教育年限與員工薪資是否有關係？為什麼？ SYMBOL 133 \f Wingdings若對員工薪資課以下列兩種稅： ； 何種課稅方式可使政府稅收較多？ 何種課稅方式可使薪資所得分配較公平？（以變異數衡量公平程度） 解 ? ， ?X、Y的聯合機率表 年限(Y)\月薪(X) 12,500 17,500 25,000 9 0.4 0.2 0.1 12 0.1 0.1 0.1 ?因為 之條件機率表 Y\X 12,500 17,500 25,000 Y=9 4/7 2/7 1/7 Y=12 1/3 1/3 1/3 表 Y 9 12 表 Y 9 12 表 Y 9 12 ? Y/X 12,500 17,500 250,000 9 0.4 0.2 0.1 0.7 12 0.1 0.1 0.1 0.3 0.5 0.3 0.2 因，所以，教育年限與員工薪資有關係。 ?? 因此的平均稅收較多。 ? 因此，使所得分配的變異數較小而較公平。 8.4 已知隨機變數及之聯合機率分配為： 試求： SYMBOL 129 \f Wingdings之值。SYMBOL 130 \f Wingdings及之邊際機率分配。SYMBOL 131 \f Wingdings條件期望值。 SYMBOL 132 \f Wingdings之機率分配。SYMBOL 133 \f Wingdings之機率分配。 解 ? X\Y 0 1 2 1 C 2C 3C 2 4C 5C 6C ，因此，。 ? X\Y 0 1 2 f(X) 1 1/21 2/21 3/21 6/21 2 4/21 5/21 6/21 15/21 f(Y) 5/21 7/21 9/21 ?，， 之機率分配 X 1 2 2/7 5/7 ? 1 2 3 4 f(X,Y) 1/21 6/21 8/21 6/21 亦即 W 1 2 3 4 f(W) 1/21 6/21 8/21 6/21 ? 1 2 f(Z) 3/21 18/21 Z 1 2 f(Z) 3/21 18/21 8.5 設，兩變數之聯合機率分配為：，=0,1,2,3，=0,1,2。試求： SYMBOL 129 \f Wingdings邊際機率函數，。SYMBOL 130 \f Wingdings條件機率函數之函數形式。 解 ? Y\X 0 1 2 3 f(Y) 0 0 2/56 4/56 6/56 3/14 1 1/56 3/56 5