二次函综合题分析.docVIP

二次函数综合题分析 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 湖南祁东县一中 曾令军 421600 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.　同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 与二次函数有关的复合函数问题例析 例1．求函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在［-3,3］上的最小值 　　［分析］这是1996年北京高中一年级数学竞赛的复试题，是一个四次函数的最值问题。表面上看起来很难。但借助于配方法、换元法及二次函数极（最）值性质，可得结果。 　　解：∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5　　　　 =[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5　　　　　 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+5　　　　　 =(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+5　　　　　 =(x2+5x+5)2+4 ?　　设Z=x2+5x+5，则y=Z2+4，对Z=x2+5x+5=(x+5/2)2-5/4，x∈[-3,3]，易知Zmin=-5/4，Zmax=29 　　∴y=Z2+4，Z∈[-5/4,29]抛物线开口向上，对称轴Z=0∈[-5/4,29]，∴ymin=4 　　故y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在［-3,3］上的最小值是4。 例2．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根，（北京市1994年高中一年级数学竞赛复赛试题）。 　　证明：已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 　　方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即Δ=(b-1)2-4ac＜0 　　若a＞0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方， 　　∴y＞0，即f(x)-x＞0恒成立，即：f(x)＞x对任意实数x恒成立。 　　∴对f(x)， 　　有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立 　　∴f(f(x))=x无实根 　　若a＜0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方 　　∴y＜0，即f(x)-x＜0恒成立 　　∴对任意实数x，f(x) ＜0恒成立 　　∴对实数f(x)，有：f(f(x))＜f(x)＜x恒成立 　　∴f(f(x))=x无实根 　　综上可知，当f(x)=x无实根时，方程f(f(x))=x也无实根 例3．已知二次函数f(x)=ax2+(a+1)x－a,方程f(x)=0两实根的差的绝对值等于2. （Ⅰ）求实数a的值. （Ⅱ）是否存在实数λ,使得函数F(x)=f[f(x)]+ λ f(x),在区间（－∞，－3）内是增函数，在（－3，0）内是减函数？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 解：（I） （II） 设存在实数λ满足要求，则 ∴存在实数λ=－16适合题目要求. 以二次函数为背景的不等式证明例析。 例4. 设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a0)，且方程f(x)-x=0的两个根x1、x2满足 　　 (1)当x∈(0，x1)时，证明xf(x)x1； 　　 (2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明 分析：本题是1998年高考压轴题，它的通常解法是作差比较法及对二次函数性质的充分熟悉，但是若对化归、联想、构造等思想方法有充分熟练的掌握，则解题可望更为简捷。 证明：方法一：利用作差比较法 　　 首先构造函数F(x)=f(x)-x，则由已知x1、x2是方程 　　 F(x)=0的根，故有F(x)=a(x-x1)(x-x2) 　　 ∵a0，x1x2，由二次函数，可见当x∈(0，x1)时， 　　 F(x)0， 　　 因而f(x)-x0，即 xf(x) ① 　　 再考虑 x1-f(x) 　　 ∵ x1-f(x)=x1-[F(x)+x] 　　???? =x1-x-a(x-x1)(x-x2) 　　???? =(x1-x)[1+a(x-x2)]0 　　 (∵已知，故x1-x0且ax21，∴1-ax20，1+a(x-x2)0) 　　 ∴ x1-f(x)0 ② 　　 综①、②，得证xf(x)x1 方法二：利用构造函数并结合整体变换的思想方法 　　 欲证 xf(x)x1??