二维随机变及其概率分布.docVIP

二维随机变量及其概率分布 §3.1 二维随机变量及其分布函数 在第二章，我们讨论了随机变量的分布．但是，在实际问题中往往必须同时考虑多个随机变量及它们之间的相互影响．例如，在气象中气温、气压、湿度、风力等都是需要考察的气象因素．这些因素都是随机变量，可以用第二章提供的方法一个个单独研究它们．然而这些随机变量之间往往存在着某种联系，因而需要把这些随机变量作为一个整体来研究，讨论它们的统计规律性时不能只限于讨论它们各自的分布，必须讨论它们构成的整体的分布，还要讨论并利用它们之间的关系． 定义3.1 设为个随机变量，则称()为维随机变量或维随机向量． 本章重点讨论二维随机变量． 定义3.2 设()为二维随机变量， 为任意实数，则二元函数 (3.1) 称为()的联合分布函数，简称分布函数． 如果已知分布函数，则对任意实数，，有 (3.2) (3.2)的直观意义可由图3-1表示出来． 分布函数具有下列基本性质： (1) 对任意实数，有 (2) 对分别是单调不减的， 即对任意的，若则 对任意的，若则 (3)对任意的，有 (4)对分别是右连续的，即对任意实数，有 对任意有 性质(1)、(2)显然．性质(5)可由(3.2)中的概率意义得到，性质(3)、(4)证明略． 可以证明：满足上述五个性质的二元函数必是某二维随机变量()的分布函数． 如果已知()的分布函数为，那么随机变量与的分布函数和分别可由求出． (3.3) 其中 同理 (3.4) 其中 称和为二维随机变量()的关于和的边缘分布函数． §3.2 二维离散型随机变量 如果二维随机变量()所有可能取的值为有限个或可列无穷多个数对，则称()为二维离散型随机变量． 联合分布 设()为二维离散型随机变量，所有可能取的值为()，若 （3.5） 则称为()的联合分布律，简称联合分布． 二维离散型随机变量的概率分布律具有下列基本性质： (1) (2) 二维离散型随机变量的分布函数可表示为 (3.6) 边缘分布 二维随机变量()中，分量与的概率分布分别称为()的关于与的边缘分布． 如果已知()的联合分布律为，、分别表示、的边缘分布律．则 (3.7) (3.8) 显然，是非负的，且对所有的，它们的和为1.()的联合分布和边缘分布有时用如下的概率分布表来表示： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 恰好是()的联合分布表中第行各概率的和，同理，恰好是()的联合分布表中第列各概率的和． 例1 已知10件产品中5件一等品，3件二等品，2件次品．从中任取3件，设分别表示抽得的一等品和次品的件数，)的联合分布与两个边缘分布． 解 可能取值0，1，2，3； 记，则 于是()的联合分布和两个边缘分布用表表示为 0 1 2 0 1/120 1/20 1/40 1/12 1 1/8 1/4 1/24 5/12 2 1/4 1/6 0 5/12 3 1/12 0 0 1/12 7/15 7/15 1/15 §3.3 二维连续型随机变量 联合概率密度 定义3.3 设二维随机变量()的分布函数为，若存在非负函数，使对任意实数，有 (3.9) 则称()为二维连续型随机变量，而称为()的联合概率密度，简称概率密度、联合密度等． 概率密度具以下基本性质： (1) (2) 由式(3.9)可以证明，若在点()处连续，则 (3.10) 这同一维随机变量的情形类似． 显然，对任意实数有 而且进一步可以证明：若是平面上的一个区域，则点()落在中的概率为 (3.11) 这是二维连续型随机变量的重要特性之一．其几何意义是：点()落在中的概率数值上等于以曲面为顶，以平面区域为底的曲顶柱体的体积．这也同时说明了的几何意义． 设()的概率密度为 求：(1) 常数； ()的分布函数及两个边缘分布函数； 3) ()落在区域内的概率；(4) 概率 解 (1)由于 故 . (2)当时， ; 当为其它情况时，． 故()的分布函数为 ． 由式(3.3)知，关于的边缘分布函数 同理，关