付録A　第２量子化法による多子系の記述.docVIP

PAGE 106 付録D　散乱理論 付録D　散乱理論 PAGE 105 付録D　散乱理論 D．１　リップマン?シュウィンガー方程式 二粒子間のポテンシャルが、互いの相対位置のみに依存する異種粒子間の二体衝突を考える（D.5で同種粒子の場合を議論する）．そのポテンシャルを、粒子の質量は共にとする．一方の粒子から見た、もう片方の粒子の状態ベクトルは、以下のシュレーディンガー方程式の解である： ． （D.1） ここで、は、自由粒子のハミルトニアン （D.2） で、μは換算質量 （D.3） である． 式（D.1）において、のとき、つまり自由粒子の場合の解（固有ベクトル）をとする．これは、以下のように波数ベクトルの入射平面波を表すとする： ． （D.4） ここで、式（D.1）の解を（入射波）＋（散乱波）という形で表現することにする、つまりとする．以下のようにXを置けば、は式（D.1）を満足することがわかる： ． （D.5） この式は、両辺にが入っているので、に関するケット方程式である．後の計算（留数積分）を可能にするため、以下のようにエネルギーをわずかに複素数にする： ． （D.6） ここで、εは無限小の数とする．この方程式は、リップマン?シュウィンガー方程式と呼ばれる．後ほど、のみが意味のある解であることがわかる． 式（D.6）の両辺に、左からをかけると、波動関数に関する積分方程式が得られる： ． （D.7） 式（D.7）の右辺の積分を計算する．まず、は、 ここで、Eとは入射波のエネルギーなので、入射波の波数ベクトルの大きさをとして、と書く．また、運動量ベクトルを、波数ベクトルで表すことにする．に関する積分を、とのなす角をとする極座標で実行すると、 （D.8） 次に、を計算する．が位置演算子のみの関数であるので、 （D.9） が成り立つことに注意して、 （D.10） 以上の結果をまとめると、 （D.11） このに関する積分方程式のことを、リップマン?シュウィンガー方程式と呼ぶこともある．式（D.11）から、散乱波は、散乱体の各点を中心とする球面波 （D.12） を、という因子を付けて、散乱体全体にわたり足し合わせたもの、と解釈できる（はグリーン関数と呼ばれる）．実際の散乱過程では、散乱波は散乱体から外向きに進行するので、のみが現実的に意味がある．そこで、今後は、式（D.11）の解として、のみを考えることにする． 式（D.11）右辺のに関する積分は、が有意義な値をもつ範囲内だけで行えばよい．今、そのような範囲からずっと離れた位置での波動関数の挙動を考える．つまり、とする．このとき、（）と近似できるので、は、 （D.13） と近似できる．ここで、と定義した．この近似式を、式（D.11）に代入すると、 （D.14） ただし、 （D.15） 微分断面積は、入射する粒子数に対する微小立体角要素へ散乱される粒子数の比で定義される．それは、入射波と、における散乱波の波動関数の絶対値の自乗（粒子の存在確率）の比であるので、 （D.16） でと表される．よって、は、散乱振幅と呼ばれる．全断面積は、散乱振幅の絶対値の自乗を全立体角にわたって積分すると求まる： ． （D.17） D．２　ボルン近似 式（D.15）のには、依然、未知の波動関数が含まれているので、このままでは微分断面積を計算できない．そこで、入射波の振幅に対して、散乱波の振幅が十分小さいと仮定し、の積分の中に現れるを、入射波の波動関数で置きかえる近似をする： （D.18） これは、ボルン近似と呼ばれる．式（D.18）より、方向への散乱振幅は、散乱ポテンシャルの、粒子の運動量変化に関するフーリエ変換に比例することがわかる． 散乱ポテンシャルの広がりが、入射波の波長に比べて無視できるほど小さいとする（この状況は、後に説明するＳ波散乱の場合に対応する）．このとき、と近似できるので、 （D.19） ただし、 （D.20） となる．つまり、散乱振幅は散乱方向に依存しなくなる．しかも、ポテンシャルの具体的形状には依らず、単にポテンシャルの空間積分（付録Cの式（C.31）のと同じものである）に比例する． D．３　散乱振幅の部分波表現 波数ベクトルの入射平面波は、以下のようにルジャンドル多項式＊ によって級数展開できる： ＊ ． （D.21） ここで、はとのなす角である．は次の球ベッセル関数で、は、波動関数の動径部分に関する自由粒子のシュレーディンガー方程式 （D.22） の解である．は、が大きいとき、 （D.23） と近似できる． 散乱ポテンシャルが球対称の場合、確率振幅は（入射方向）と（散乱方向）のなす角にのみ依存するので、以下のようにルジャンドル多項式による級数