代数几综合题.docVIP

- PAGE 14 - 代数几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且，EM切⊙O于M。 ⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2＝ eq \f(1,2) BC·CE； ⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。 解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A作AH⊥BC于H(如图) ∵A是中点，∴HC＝HB＝ eq \f(1,2) BC， ∵∠CAE＝900，∴AC2＝CH·CE＝ eq \f(1,2) BC·CE ⑶∵A是中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2， ∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM2　　　① ∵AC2＝ eq \f(1,2) BC·CE，BC·CE＝8　　　　　 ② ①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC2＝17 ∵EC2＝AC2＋AE2，∴AE＝ eq \r(17－22)＝\r(13) ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝ eq \f(AE,AC)＝\f(\r(13),2) 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD转化为∠AEC就非常关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90○。过C作CD⊥x轴，D为垂足． （1）求点 A、B的坐标和AD的长； （2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。 解：（1）在y=2x+2中 分别令x=0，y=0． 得 A（l，0），B（0，2）． 易得△ACD≌△BAO，所以 AD=OB=2． （2）因为A(1，0），B（0，2），且由（1），得C（3,l）． 设过过B、A、C三点的抛物线为 所以 所以 点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO． 【例3】（2005，重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q 移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？ 解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b　 由题意，得 解得 所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6． （2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t 1° 当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB． 所以　＝ 　解得　t＝(秒) 2° 当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB． 所以　＝ 　解得　t＝(秒) （3）过点Q作QE垂直AO于点E． 在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝　 在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8 －t所以，S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t) ＝－＋4t＝ 解得t＝2（秒）或t＝3（秒）． （注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分） 点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作 PE⊥AB． 【例4】（2005，南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由． 解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E． 在Rt⊿ABC中，AC＝10， PC＝AC－AP＝10－x．　 ∵　PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．故　，即　 ∴⊿PBC面积＝　　　　 又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝　　 即　y，x的取值范围是0＜x＜10． （2）这个判断是正确的．