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信息学奥赛——动态规划实例析及程序实现
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一、数字三角形
(图3.1-1)示出了一个数字三角形。 请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路
径,使该路径所经过的数字的总和最大。
●每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走;
●1<三角形行数≤100;
●三角形中的数字为整数0,1,…99;
输入数据:
由INPUT.TXT文件中首先读到的是三角形的行数。
在例子中INPUT.TXT表示如下:
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出数据:
把最大总和(整数)写入OUTPUT.TXT文件。
上例为:
30
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
(图3.1-1)
二、算法分析
只要对该题稍加分析,就可以得出一个结论:
如果得到一条由顶至底的某处的一条最佳路径,那么对于该路径上的每一个中间点来说,由顶至该中间点的路径所经过的数字和也为最大。因此该题是一个典型的多阶段决策最优化
的问题。
我们采用动态规划中的顺推解法。按三角形的行划分阶段。若行数为n, 则可把问题看作一个n-1个阶段的决策问题。从始点出发,依顺向求出第一阶段、第二阶段,……,第n-1阶段中各决策点至始点的最佳路径,最终求出始点到终点的最佳路径。
设:
fk(Uk)━━从第k阶段中的点Uk至三角形顶点有一条最佳路径, 该路径所经过的
数字的总和最大,fk(Uk)表示为这个数字和;
由于每一次决策有两个选择,或沿左斜线向下,或沿右斜线向下,因此设
Uk1━━k-1阶段中某点Uk沿左斜线向下的点;
Uk2━━k-1阶段中某点Uk沿右斜线向下的点;
dk(Uk1)━━k阶段中Uk1的数字;
dk(Uk2)━━k阶段中Uk2的数字;
因而可写出顺推关系式
fk(Uk)=max{fk-1(Uk)+dk(Uk1),fk-1(Uk)+dk(Uk2)}
f0(U0)=
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