光子晶体中波传播.docVIP

物理雙月刊（廿八卷五期）2006年10月 PAGE 850 光子晶體中的波傳播 文/張高德、欒丕綱 前言 在人類對奈米尺度的現象感興趣之前，傳統上大致將物理現象區分成兩大類：宏觀（macroscopic）現象及微觀（microscopic）現象。在宏觀的系統中，所考慮的空間尺度遠遠大於個別原子以及原子間距的大小，所以這些粒子的波函數缺乏足夠的相位同干性（phase coherence），導致量子行為被統計平均的結果給遮掩了，無法彰顯。相對的，在微觀系統中具有明顯的波動現象，粒子的波函數具有同干性的相位，因此產生了一些在巨觀的系統中觀察不到的量子行為。在極低溫的時候，有部份的量子現象也可以在具有大量粒子的系統中被觀察到，例如波色—愛因斯坦凝聚（Bose-Einstein Condensation）。考慮得更仔細一些，會發現在此現象發生時，波函數的延展範圍（約為波長）本身就不是微觀的。因此，系統是否表現出量子行為，取決於波長與系統尺度的相對大小。 近年來，人們更近一步探討奈米尺度下的介觀（mesoscopic）物理系統。在這種不大不小的系統中，不僅波函數的相位特性能表現出來（例如量子環的 Aharonov-Bohm 效應），同時，量子粒子的波函數還可能受制於特定的邊界條件（例如量子點、量子線），或外場（電場、磁場），或是經歷多重散射（在含雜質的系統中）等等。因此，發生於介觀物理系統中的現象較發生於傳統的半導體系統以及少粒子簡單量子系統中的更複雜，也更豐富。 類比於光學現象，會發現傳統的幾何光學處理方式就像是處理宏觀系統。由於可見光的波長大約是數百奈米，遠遠小於一片普通透鏡的厚度，或是光從一片透鏡至另一片透鏡的傳播距離，因此光在空氣、玻璃或是透鏡組件中的傳播方式就像是粒子以直線方式進行，並在遇到各個光學元件時發生反射、折射等行為，而不須考慮相位疊加的因素。然而，當相位的同干性明顯時，通常就必須考慮光的波動行為（例如Fourier 光學），如同考慮微觀系統。此時光波疊加後的相位特性被保持，就導致了可觀測的干涉及繞射現象。 在過去，原以為光的行為模式皆可由此兩個範疇加以簡化而了解，但隨著科技的進步，奈米技術的發展似乎開拓了另一片天地。當光經過一個大約與波長同等級大小的系統時，分析其複雜行為已不能再用上述的簡單規則，而必須使用精確的馬克斯威爾方程式（Maxwell’s Equations），並考慮嚴謹的邊界條件。在此種系統中，不僅僅是光波的相位疊加效應要被考慮，同時，光波的向量特性（偏振）以及其於系統內的多重散射（因為系統內部複雜的邊界條件）都要被考慮。因此，通過光子晶體（photonic crystal）或蝴蝶翅膀的光波不再能以單純的干涉行為來看待，而要跳脫出宏觀及微觀光學的範疇。或許我們可以類比上述的介觀量子系統，將此類光學系統稱作介觀光學系統（mesoscopic-optics systems）。 在過去，科學家將量子力學應用在晶態物質的電導問題上，發展出電子的能帶理論，清楚解釋了電子在週期位勢中的傳播行為。在電子能帶中，存在著一些禁帶（forbidden band），或稱能隙（energy band gap），代表電子不能傳導的能量區間。表面上看來，這是一個量子效應，進一步深思，就會發現這其實是一個波效應（來自於薛丁格波動方程式）。利用光電效應的關係式（角頻率與能量的對應），就可以將能譜理解為頻譜，將能隙理解為頻隙（frequency band gap）。有了這一層認識，就不難想到將週期位勢換成週期介電質結構，並將電子的波函數換成電磁波，也會有頻帶結構，甚至產生光子頻隙（photonic band gap）。 圖一 典型的二維光子晶體能隙圖 (a)為正方晶格、(b)為三角晶格，而灰色區域代表光子能隙。實線與虛線代表電場的不同偏振方向。 就在二十世紀 80 年代未期，美國籍的Eli Yablonovitch 教授與加拿大籍的 Sajeev John 教授先後提出光子晶體的概念[1,2]：藉著週期性的介電質結構，可有效地控制電磁波的傳播行為，甚至形成光子頻隙，阻絕電磁波的傳播。圖一中的灰色的區域所表示的就是頻隙。當頻率落在此區域中的電磁波由外部入射至光子晶體區域時，由於在光子晶體中沒有與其對應的傳播模態（propagating mode），因此電磁波會被完全地反射回去。這個特性導致許多有趣的應用。例如利用整塊光子晶體製造的光子反射鏡，或是在光子晶體中製造線缺陷（line defect）以形成光子晶體波導（photonic crystal waveguide），或是製造點缺陷（point defect）以形成光子晶體共振腔（photonic crystal resonant cavity）等等。 近年來，研究者發現光子晶體的傳導帶也很