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* * 初二数学组 A B C 1.三角形外角的定义: 在三角形外部,一边的延长线与另一边所夹的角叫做这个三角形的外角。 E 2. ∠ACE与图中的其他角有什么关系?能证明你的结论吗? ∠ACE+∠ACB=180° ∠ACE= ∠A+ ∠B ∠ACE∠A, ∠ACE∠B 1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 2 .三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 如图:已知∠ACE 是△ ABC 的一个外角 求证:∠ACE = ∠A+ ∠B A B C E 1 证明: ∵ ∠ACE+ ∠1= 180° (平角的定义) 又 ∵ ∠B+ ∠ C+ ∠1= 180° (三角形内角和定理) ∴ ∠ACE+ ∠1 =∠B+ ∠ C+ ∠1 (等量代换) ∴ ∠ACE=∠B+ ∠ C (等式性质) 推论1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论。 推论可以当做定理直接使用。 例1:已知:如图,在△ ABC 中,AD平分∠EAC,∠B=∠C,求证:AD∥BC A B C E D 证明: ∵ ∠EAC= ∠B+ ∠C ∠B= ∠C ∴∠C= ∠EAC 又 ∵ AD平分∠EAC ∴∠DAC= ∠EAC ∴ ∠DAC=∠C ∴ AD∥BC 思考:你还有其他证明方法吗? 例2:已知:如图6-14,在△ ABC 中, ∠ 1是它的一个外角,E为边AC上的一点,延长BC到D,求证: ∠1∠2 证明: ∵ ∠ 1是△ ABC的一个外角 ∴ ∠1∠3 ∵ ∠ 3是△ CDE的一个外角 ∴ ∠3∠2 ∴ ∠1∠2 已知:如图,在∠ BAC 的里面有一点D,连接BD,CD,猜想: ∠ A , ∠ B, ∠ C和∠ BDC之间有什么关系? B C A D E ∵ ∠ BED是△ AEC的一个外角 ∴ ∠BED=∠A+ ∠C ∵ ∠BDC是△ BED的一个外角 ∴ ∠BDC=∠B+ ∠BED ∴ ∠BDC =∠ A + ∠B+ ∠C 证明:延长CD交AB于E点 如果点D在线段BC的另一侧,结论会怎样呢? B C A D E 1 2 证明:连接AD并延长至E ∵ ∠ BDE是△ ABD的一个外角 ∴ ∠BDE=∠1+ ∠B ∵ ∠CDE是△ ACD的一个外角 ∴ ∠CDE=∠2+ ∠C ∴ ∠BDE+ ∠CDE =∠ A + ∠B+ ∠C ∵ ∠BDC+ ∠BDE+ ∠CDE =360° ∴ ∠BDC=360°-(∠ A + ∠B+ ∠C) *

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