关键知识点非退或非奇异矩阵.docVIP

第四章 矩阵 关键知识点:非退化或非奇异矩阵,矩阵的逆,伴随矩阵,分块矩阵, 初等矩阵,矩阵的等价;矩阵乘积的秩定理(定理2,P174),矩阵可逆的充 要条件定理(定理3,P177),矩阵的等价标准形定理(定理5,P188), 可逆 矩阵能表成初等矩阵的乘积定理(定理6,P190). 本章的三大问题:矩阵 的求逆,矩阵的分块,矩阵的初等变换与初等矩阵. 4.1 计算: 1); 2); 3). 详解 1)由于,且与可交换,则 . 2)先不完全归纳,然后进行归纳证明. 或者,假设第次的旋转坐标变换为 , ,则它们的合成变换为,但这 次的旋转变换的合成变换恰好相当于1次的旋转角的旋转变换,那么 也有,所以有 . 3)记,,则,, 那么 (与可交换). 4.2 设,是一个矩阵,定义 .若,, 试求. 略解 根据题目中的定义,则有 . 4.3 证明:任一矩阵都可表成一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 提示 ,前者对称,后者反对称. 4.4 设,其中. 证明:与可交换的矩阵只能是对角矩阵. 略证 设与可交换,则,那么 ,则当时,,从而也为对角矩阵. 4.5 设,, 为级单位阵,.证明:与可交换的矩阵只能是准对角阵 ,其中为级矩阵. 提示 设与可交换,其中为阵, 则,那么当时,,则只能为准对角矩阵. 4.6 用表示行列的元素为1,而其余的元素全为0的矩阵, ,证明: 1)若,则当时,当时; 2)若,则(),(),且; 3)若与所有的级矩阵可交换,则必为数量矩阵,即. 略证 1)由,则 ,比较即可.2)同样. 3)与所有的级矩阵可交换,则与可交换, 由2)即知成立. 4.7 证明:若是实对称矩阵,且,则. 略证 记,则,且,那么 ,则,则,那么 ,即. 4.8 设,. 证明:. 略证 利用行列式的乘法规则及范得蒙行列式的结果,则有 . 4.9 设是矩阵,证明:若,均有,则. 略证 取维单位列向量组,则,那么 ,即,所以. 4.10 设为阵,为阵,且. 证明:如果, 那么. 略证 记(按行分块),,由,那么 ,又,即线性无关,因此有 ,即. 另证 记(列分块),则, 那么,又,不妨设的前个向量 为极大线性无关组,则有,但是 可逆,所以. 问题 设分别为矩阵,且,. 证明:若,则. 提示 利用本题即可证明. 4.11 证明:. 略证 记,(均按列分块),则 .又组 可由组线性表出,那么 . 4.12 设为阵.证明:如果,那么. 详证 设,记(按列分块),由,那么 , 则, 说明是齐次线性方程组的一组解向量, 另设方程 组有一基础解系,则可由线性表出, 所以 ,即得. 4.13 设,已知存在,求. 详解 设为阵,为阵,则, 那么存在,设,其中阵块分别为 矩阵,由于,则, ,,, 可解得 ,所以. 另解 由于,则, 则,则, 所以. 问题 设,其中,并且, .求. 提示 利用本题结论计算. 4.14 矩阵称为下三角矩阵,如果时有.证明: 可逆的下三角矩阵的逆仍是下三角矩阵. 详证 对方阵的阶数作归纳.时显然成立.假设时结论成 立.下证时的情形,设为下三角阵,记(分块), 则存在,且为阶可逆的下三角阵,由归纳假设,那么也为下 三角阵.又,那么 , 所以时也成立. 说明 本问题也可设出来直接证明,对于上三角矩阵也同样成立. 4.15 设为矩阵().证明:. 提示 .若,由于,则; 若,则(否则,可逆,,矛 盾),则结论也成立.(或者当时,利用4.12讨论证明). 4.16 设同上.证明: 略证 若,则;若, 则(存在阶非零子式),又,由题4.12则 , 则;若,则(的所有阶子式均为零),则 . 4.17 设,求. 提示 由于 , 那么有 ,. 说明 本题也可对矩阵直接用初等变换求逆或用伴随矩阵求逆. 4.18 设分别为矩阵和矩阵.证明: . 略证 由于 , 那么,一方面有 , 两边取行列式并利用乘法规则及拉普拉斯定理,则;另一方面,也有 , 则. 问题 设如上,.证明:. 提示 由于 , 63 且,分别取行列式即可.