几个著不等式.docVIP

2.2 几个著名不等式 2.2.1 著名不等式 柯西不等式 对于任意两组实数和有 上述不等式只有当时，等号才能成立． 证明 因为对任意x，有 将上式展开得 上述二次三项式对任意x均大于等于0，故其判别式不能大于0，所以 当判别式等于0时，上述方程有重根，设重根为x=k，则 这时 所以上述不等式只有当 时等号才能成立。 如令，则得 柯西不等式在高等代数中的意义是：两个向量的数积不大于两个向量长度的乘积．若 则 其中 例１ 若都是正数，求证 证明 构造两个实数列 则由柯西不等式得 即 *赫勒德尔不等式 由柯西不等式 可得 但 所以有 同理有 一般地有 现在证明上述不等式对任意不等于2m的正整数也成立（假定所有数列均为正数列）． 设 共k个实数列 设 共k个 再令 则有 但 所以 所以 即该不等式对任意不等于2m的整数k也成立． 上述不等式的证明有些麻烦，不好记，现用反归纳法给出一个简洁的证明． 由证明知，不等式 对无穷多个自然数k=2m成立． 现在假设不等式对m=k成立． （是k个数列）≤ 但是 左边 所以 即不等式对m=k-1也成立。由反归纳法知，不等式对任意整数k均成立． 例２ 设非负实数满足 求证． 证明 当n=1时，结论显然正确． 假设命题在n=k时正确，非负实数满足 则成立． 现设为k+1个非负实数，满足 要证 令，则由归纳假设 但是，因为，所以 所以 证毕 如果令． 这里均为正实数，则得 现在证明下面不等式 其中均为正有理数，且 证明 上面的不等式称为赫勒德尔不等式．当为正无理数且满足条件时，上述不等式当然也成立，只要根据“每一无理数都有理数的极限”，便可证明． 最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式． 对于，得 即 于是有 所以 上式是两个实数列的赫勒德尔不等式． 对三个实数列情况，即 令 这时 即赫勒德尔不等式对三个实数列也成立．同理可得赫勒德尔不等式又四个…实数列也成立。 令 这里．则得 当时，上式就是柯西不等式． 由上述不等式可得 其中，所以 即 上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和． 2.2.2 凸函数 下面我们给出凸函数定义及其性质． 定义2.1 如果函数f(x)满足以下条件：对任意x1和x2，有 其中，则称f(x)为下凸函数． 如果函数f(x)满足下面条件，对任意的x1和x2有 其中，则称f(x)为上凸函数． 凸函数的几何意义分别用图２－１和图２－２表示． 下凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在相应弦的下方，而上凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在弦的上方． 显然，当时， 即 是x1与x2中间的点． 反之，当x是x1与x2中间的点时，即x1x x2，令 有，且，有 所以闭区间中所有点均为的形式．反之，也是区间中的点． 定理2.1 若f(x)是下凸函数，则下面不等式成立： 其中 证明 当n=2时，上式即为下凸函数定义，所以定理成立．现假设k=n时定理成立． 当k=n+1时，令 这时 所以 所以定理对k=n+1也成立． 同理，对上凸函数f(x)也有 其中 例３ 由图形知是上凸函数．所以 令，则有 除去对数符号，得 如果令，上式的意义即为算术平均值大于几何平均值． 例４ 设 这时（以后说明为什么下凸函数，所以是下凸函数 消去，得 除去对数符号，得 令，则得 即几何平均值大于等于的调和值． 例５ 求证圆内接n边形中，以正n边形面积为最大． 证明 设圆的半径为Ｒ，内接n边形的面积为Ｓ，n边形各边所对应的圆心角为． 则 因为都区间是上凸函数． 所以 上式只有在时等号才能成立，也就是说正n边形面积最大． 最后我们给出一些与分析有关的不等式． 例６ 若，求证 证明 因为，令，所以 在上式中，如果令，则 令，得 另一方面，因为 所以 当，有 令，得 当时，．