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PAGE 1 ?PAGE 8 几何基础复习题（四） 证明题练习 1．用向量方法证明:如果三角形的一条中线垂直于底边，则这个三角形是等腰三角形． 2．用向量方法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 3．用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 4．用向量方法证明三角形三条高线交于一点. 5．证明：过两直线，的交点与点的连线，与直线平行． 6．证明：，，，成调和共轭． 7．证明 点关于二次曲线的极线为. 8. 设，，为三条定直线，，为二定点，其连线过点，为上的动点，且直线，分别交，于点，，求证：通过上一定点． 9．设A，B是直线l外两点，在直线l上任取两点P，Q，AP交BQ于N，BP交AQ于M，则MN通过AB上一定点. 利用笛沙格定理证明三角形的三条中线交于一点． 证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点． 12．相交于点的两条直线、被三条不同直线截得三个四边形，如图所示，证明这三个四边形的对角线交点共线． 　　　 13. 设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，那么用三次透视就可以彼此转换．即射影对应是三个透视对应的复合． 14. 已知点P不在二阶曲线上，求作点P关于二阶曲线的极线。 参考答案 1．证明 设，分别表示三角形的两腰， 则（＋），?—，于是 ?（＋）?（?—）（???） ? a? ?b 又因为，所以?， 因此???，即||||， 所以三角形是等腰三角形． 2．证明　如图所示，设，，， 则＋＋， 于是　　 　? ? 　?　　　　　　　　　　 说明，且．　　　　 3．证明 设，分别表示菱形的两条邻边， 则它们的对角线分别为＋和???，于是 （＋）?（?） ???? ? 又因为菱形的两邻边相等，即||||， b 所以 （＋）?（?） ??? 　　　 a 即菱形的两条对角线互相垂直． 　4. 证明 设三角形中边上的高分别为和，且和相交于点，连接并延长交于． 　　　　　　　 在三角形AGC中， （1） 已知是三角形中边上的高，因此 ， 故 ， （1）式两边同乘以，即有 （2） 　　　　　 同理，在三角形BGC中， （3） 由于在三角形中， 于是由（2）＋（3）式得 =0 说明，从而，这说明三角形三条边上的高相交于一点。 5．证明　直线，的交点为 ，　　　　　　　　　　　　　　 点与点的连线方程为 .．　　　　　　　 　 即所求连线的坐标为， 因为， 所以直线与直线平行． 6．证明 可以验证四点在一条直线上. 　　　　 ? 7. 证明 曲线的齐次方程为 点的齐次坐标为 故极线方程为 解得 令 则点的极线方程为 8．证明 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?? 　取所在直线为影消线，经过中心投影之后，为无穷远直线，如图所示， 则，为平行四边形． 于是 ，， 所以 　　 ， 即四边形为平行四边形， 因此，与的象交于无穷远点， 即由中心射影保持结合性不变可知，通过上一定点． ABCMNQ lP第9题图Q1P1N1M A B C M N Q l P 第9题图 Q1 P1 N1 M1 设是直线上的另外任意两点, 往证与相交于上. 设的象为， ，分别是相应的像点. 由于，交于点， 故交于点 由于，故，而为无穷远直线， 故//，即与交于无穷远点. 由中心射影的性质知，原象与是两条相交直线，交点在上. 　　10．证明　如图所示， △的中点分别为，，， 由三角形中位线定理， ∥，∥，∥