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函数奇偶性的解题功能例析 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 衡阳县一中 刘亚明 ??? 奇偶性是函数的重要性质之一，应用广泛，是高考和数学竞赛命题的热点，灵活运用它可使许多难题迎刃而解. 现将函数奇偶性的应用归纳如下，以供同学们复习时参考.????? 一、求函数的值 例1.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时， f (x) = －x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题） 解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴； 又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3 例2. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时， f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。 ∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B) 二、求参量的值 例3．定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围. 分析：考查函数的奇偶性与单调性综合性的问题需要两个重要性质熟练把握. 解：∵ｆ(ｘ)的定义域是（－１，１） ∴－１＜１－ａ＜１ ① －１＜１－ａ２＜１ ② 又∵ｆ(ｘ)是奇函数 ∴－ｆ（１－ａ）２＝ｆ［－（１－ａ２）］＝ｆ（ａ２－１） 又∵ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０， 有ｆ（１－ａ）＜－ｆ（１－ａ２）＝ｆ（ａ２－１） ∵ｆ（ｘ）在（－１，１）是减函数， ∴１－ａ＞ａ２－１ ③ 由①②③组成不等式组： ∴所求ａ的范围为：０＜ａ＜１ 评述：研究有关函数问题时，不考虑函数的定义域是出现错误的主要原因. 例4．已知函数ｆ（ｘ)是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围. 分析：此题关键是如何去掉函数符号“ｆ”，与分类讨论思想的应用. 解：∵ｆ(ｘ)在［０，２］上是减函数，在［－２，０］上是增函数，故分类可得： (1)当 得ｍ∈，故此情况不存在. (2)当 得０≤ｍ≤１ ∵ｆ(ｘ)在［０，２］上为减函数 ∴ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）可转化为１－ｍ＞ｍ ∴ｍ＜ ∴０≤ｍ＜ (3)当 得－１≤ｍ≤０ ∵ｆ（１－ｍ）＝ｆ（ｍ－１） ∴ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）可转化为ｆ（ｍ－１）＜ｆ（ｍ） ∵ｆ（ｘ）在［－２，０］上是增函数 ∴ｍ－１＜ｍ ∴－１≤ｍ≤０ (4)当 得１≤ｍ≤２ ∴０≤ｍ－１≤１ ∴ｆ（１－ｍ）＝ｆ（ｍ－１） ∴ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）可转化为ｆ（ｍ－１）＜ｆ（ｍ） ∵ｆ（ｘ）在［０，２］上是减函数 ∴ｍ－１＞ｍ无解 综上所述，满足条件的实数ｍ的取值范围为－１≤ｍ＜ 评述：以上例6中，将１－ｍ与ｍ放在同一个单调区间内是解题的又一个关键. 注意：此题若利用偶函数的性质“ｆ（｜ｘ｜）＝ｆ（ｘ）”能否使问题变得简化些呢?请读者试探下去! 例5设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=() 命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.. 知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法. 解：设0x1x2,则－x2－x10，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f(－x2)f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1), ∴f(x2)f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减. 由f(2a2+a+1)f(3a2－2a+1)得：2a2+a+13a2 又a2－3a+1=(a－)2－. ∴函数y=