函数的域三性.docVIP

同步讲台（4） 第四讲 函数的两域三性 同步讲台（4） ● 知点 考点 答点 （1）函数的定义域 函数的定义域即使函数有意义的自变量x的取值范围. 一般来说，整式函数的定义域是全体实数； 分式函数的定义域由分母不为零确定； 无理函数分两种情况，根指数为奇数的，定义域是全体实数，根指数为偶数的，定义域由被开方数不小于零确定； 指数函数的定义域是全体实数； 对数函数的定义域由真数大于零确定，也就是零和负数没有对数； 复合函数的定义域则须求被复合的各种简单函数定义域的交集. 【例1】 求函数y=的定义域. 【思考】本题的前一部分是分式函数，应使其分母不为零；后一部分是偶次根式函数，应使其被开方数不小于零. 【解析】由. 【归纳】 求函数定义域常常要解不等式(或不等式组)，其解集就是该函数的定义域. 【例2】 已知函数f(2x)的定义域是［-1，2］，求f(log2x)的定义域. 【思考】 在同一法则f下，表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”. 【解析】 ∵-1≤x≤2，∴≤2x≤4故≤log2x≤4即 log2≤log2x≤log216≤x≤16. 【归纳】不论函数的解析式多么复杂，求函数的定义域最终是求自变量x的取值范围. （2）函数的值域. 当函数的自变量x在其定义域内取值时，所有相应的函数值的集合，称为函数的值域. 【例3】求函数的值域. 【解析1】（利用非负实数的性质）由.由于，∴.故即为所求. 【解析2】（利用一元二次方程根的判别式） 显然.否则又由（1）可以推出，矛盾. 于是方程（1）恒有两个实数根， 且，解得 【解析3】（确定函数的最值）. ∵，故当时，取最大值1；当时，总有-1. 故所求函数的值域.为. 【解析4】（利用正、余弦函数的有界性）设，那么.（这里. 【解析5】（利用数形结合）设， 那么，或. 显然，这个函数的图象是以（-1，-1）为中心的双曲线当 的部分，如图可知：. 【归纳】确定函数值域的方法有： eq \o\ac(○,1)确定函数的最大值与最小值； eq \o\ac(○,2)将函数式转化成一元二次方程并利用其判别式； eq \o\ac(○,3)利用非负实数的性质； eq \o\ac(○,4)利用正、余弦函数的有界性； eq \o\ac(○,5)利用数形结合的方法将求函数的值域问题转化为有关的几何问题. 其他更高级一些方法还有：利用平均值不等式和利用导数，等等. （3）函数的单调性. 如果函数在其定义域M内，当时，恒有，则称函数是M上的增函数；反之，当时，恒有，则称函数是M上的减函数. 一个函数是其定义域M内的增函数或减函数，则称这个函数具有单调性. 判断函数单调性的主要方法是比较法. 几种常见代数函数的单调性： 一次函数当时在R上单调增；时在R上单调减. 二次函数在全体实数范围内没有单调性，但若以其图象的对称轴为界将其定义域划分为两个区间，那么当时左减右增；当时左增右减. 反比例函数在全体实数范围内也没有单调性，但若以其图象的对称中心为界将其定义域划分为两个区间，那么当时左减右也减；当时左增右也增. 指数函数当时是R上的增函数；当时是R上的减函数. 对数函数当时是R+上的增函数；当时是R+上的减函数. 【例4】研究函数f(x)=x+(a0)的单调性. 【解析】取则，且. = 由于，∴的正负由的符号确定； 又由于f(x)=x+(a0)的定义域为，且，故f(x)的单调性应分R+、R-两个区间讨论. 令 令 可知：当时， ，f(x)单调增； 当时，，f(x)单调减. f(x)=x+(a0)的大致图象如右上图所示. 【注意】（1）f(x)=x+(a0)是十分重要的初等函数，以上总结的单调法则应予牢记. （2）f(x)是奇函数，它的图象关于原点对称. 【例5】研究函数f(x)=log3(2x-1)的单调性. 【解析】令2x-10知定义域为(，+∞)，∵g1(x)=2x-1单调增，g2(u)=log3u也是单调增函数，故复合函数f(x)=log3(2x-1)是(，+∞)上的单调增函数. 【归纳】研究函数的单调性，应首先确定其定义域. 复合函数的定义域，由被复合的各个简单函数定义域的交集确定. 由两个简单函数组成的符合函数，其单调性的判定规则是：同增同减则增，一增一减则减. 【例6】将下列各数依从小到大的次序排列出来. 2，log23，，2log23，， 【分析】数据繁多，应首先以0，1为界进行大致分类，然后利用对数函数的单调性比较各类数的大小. 【解析】注意到，且均为正数； 此外，=log28=3log29也都是正数. 而都是负数. ∵，即. 于是各数的大小顺序是：log32log2322log23. （4）函数的奇偶性. 如果函数在其定义域内，恒有，则称这个函数为偶函数；反之，若恒