含参数函数分类讨论问题讨论点.docVIP

含参数函数分类讨论问题的讨论点 汤 威 【摘 要】本文分析了含参数函数的常见讨论点，并通过分析例题，阐述如何根据讨论点展开分类讨论.通过分析近几年高考题，可以发现高考题非常重视考查分类讨论的数学思想，而分类讨论思想的考查往往在函数题中得到体现.含参数函数分类讨论问题常常含有若干讨论点，讨论也就需要进行二级讨论、三级讨论.解含参数函数分类讨论问题时应从识别题型开始，逐步探索讨论点，再按讨论点逐级分类讨论，最后进行整合得结论.最后，总结了解决含参数函数分类讨论问题的方法，指出解这类问题的关键在于识别讨论点的组合方式，并按讨论点展开讨论. 【关键词】函数，参数，分类讨论，讨论点. 纵观近几年高考题可以发现高考非常重视分类讨论思想的考查，而分类讨论思想的考查往往以函数为背景.基本初等函数中，含讨论点最多的是二次函数，其次是一次函数、指数函数、对数函数等.笔者认为要解决好分类讨论的函数问题关键是要找准讨论点，并按讨论点合理分类并展开讨论.函数的分类讨论问题往往含参数，既可以是函数解析式含参数，也可以是区间端点含参数.一次函数，二次函数常见的讨论点有：函数的讨论点为一次项系数含参数，分讨论.函数的讨论点有：①二次项系数含参数，分讨论；②判别式含参数，分讨论；③二次函数零点含参数，分讨论；④二次函数图象对称轴含参数，按对称轴相对于给定区间的位置进行讨论（动轴定区间）；⑤二次函数图象对称轴不含参数，而定义域区间端点含参数，按动区间相对于对称轴位置进行讨论（定轴动区间）；⑥对二次函数零点含参数，常对零点是否在定义域内进行讨论. 导数是研究函数的重要工具，随着高考对导数的考查不断深入，高考题经常设计成导函数含有含参数的一次函数、二次函数形式，这就需要针对参数进行讨论了.导数工具的引入，大大丰富了函数的考查方式，含参数函数分类讨论问题的设计也更为灵活，既可以利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，又可以利用导数研究函数零点、不等式恒成立、不等式能成立等问题.含参数函数分类讨论问题往往涉及到多个讨论点，讨论也就需要进行二级分类、三级分类，这也一定程度增加了题目难度，更能考查考生的综合能力.本文就以含参数函数分类讨论问题的讨论点为线索研究这些问题，以飨读者. 一、对二次项系数含参数与判别式含参数的分类讨论 例1（2009年高考广东卷（理））已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设． （I）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值； （II）如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 解析：（I）略； （II）由（1）知：，令得：，即 （1）观察方程（*）有如下特点：①方程（*）含两个参数；②二次项系数含参数，判别式含参数； （2）题型识别：此题属于函数零点的问题，可以转化为求一元二次方程（*）实根的问题，需要对讨论点二次项系数和判别式进行二级讨论. 当，即时，方程（*）有一解 函数有一零点. 当，即时，方程（*） （i）若即时，此时函数有一个零点； （ii）若即时，方程（*）有两个不等实根. 当或时，方程（*）有两个解 和 故函数有两个零点和 （iii）若即时， 当或时，方程（*）无实数解. 故此时函数没有零点. 综上所述，当时 函数有一零点；时，函数有一零点；()，或（）时，函数有两个零点,或时，函数没有零点. 由以上解题过程可知，一级讨论点是二次项系数，分二次项系数进行讨论，二级讨论点是，分进行讨论. 二、对判别式含参数与导函数零点是否在定义域内的分类讨论 例2（2007高考山东卷（理）改编）设函数其中，求函数的极值点. 解析：由题意知，的定义域为，，显然分母.令得： （1）观察方程（*）知：①含参数，方程（*）是否有实根呢？②当方程（*）有两个不等实根时，实根含参数，它们是否在定义域内呢？ （2）题型识别：此题属于求函数的极值点的问题，转化为求一元二次方程（*）实根及讨论根的分布情况的问题，需要对讨论点判别式和方程（*）实根是否在定义域内进行二级讨论. 若，即时，当时， 在单调递增 无极值点. 若，即时，方程（*）的实根为 当时，且在的零点只有 在单调递增 无极值点. 若，即时，方程（*）有两个不等实根，易知，，可见，而是否在定义域呢？从而产生了二级讨论点. （i）当，即时， 当变化时，变化情况如下表： 0 极小值 由表可知，当时，有一个极小值点； （ii）当，即时，且 当变化时，变化情况如下表： + 0 0 + 极大值 极小值 由表可知，当时，有一个极大值点和一个极小值点. 综上所述，（1）当时，有一个极小值点； （2）当时，有一个极大值点和一个极小值点. （3）当时，无极值点. 由例2不难