圆周率为一个圆的周直径比.docVIP

PAGE PAGE 9 圓周率 圓周率為一個圓的圓周直徑比，通常以希臘字母π表示，由數學家歐拉(Euler)首創。不管這個圓有多大，這個比值恆為一個常數，在小學四年級的數學中學到圓的單元時，老師教小朋友這個比值大約為3，到六年級學了小數以後，就開始用3.14的近似值，那麼圓周率到底是多少呢？我們又如何能証明任何一個圓之圓周與直徑的比永遠為一個常數呢？在小學的數學中老師都是教小朋友用細繩去量圓周的長，然後將圓周的長除以直徑的長，可是每一個小朋友都得到的結果都不相同，因為量圓周或直徑的長時都會有誤差產生，所以也就怪不得每個小朋友會得到不同的比值，不過如果量長度的時候盡量精確，讓誤差盡量減少時，我們可以發現這個結果是接近3，有人可以算到3.1，甚至於3.14，但正確的值應該是多少呢？這的確是一個引人省思的問題。 人類自古以來就注意到圓這個幾何圖形，也察覺到圓周與直徑的比約為一常數，歷史上有關圓周率的記載甚至可以追溯到古埃及文明時代，傳說中金字塔底部周長之半與高之比就是圓周率。世界上最古老的數學書賴因德紙草書(約公元前1650年)也記載圓面積的算法為直徑減去它的1/9，然後加以平方，按照這個方式計算，則圓周率大約是3.16049。舊約聖經中也有圓周率為3的記述。在古中國也使用3粗略之值，中國古數學書『九章算術』(約公元前200年)第一章方田章有如下的題目：〝今有圓田，周三十步，徑十步，問為田幾何？〞這裡所使用的圓周率即為3。在古印度時期，使用的圓周率常用複雜的式子表示 例如 ﹦≒3.0883 ﹦≒3.0044 這些圓周率之值也粗略為3。 阿基米德(公元前287~前212)是史上一位偉大的數學家，它也是最早將圓周率的計算建立在科學的基礎上，也就是用幾何的方法去求π值，而且他還證明出： π之值介於3與之間，3=是我們平常計算值常用的近似值。在公元150年左右，希臘天文學家托勒密(Ptolemy)製作了一個弦表(即三角函數中正弦函數表)來計算圓周率，其值約為，比阿基米德更進步。在中國方面，古代的數學家也有運用類似的幾何方法來計算值，『九章算術』方田章有一題曾經提到計算圓面積的法則：『半周半徑相乘得積步』，若圓面積為A，周長為C，半徑為r，則A=;如果用圓周公式C=2r代入，則便得到A=，這就是圓面積公式。『九章算術』原書並無証明，公元三世紀，也就是三國時代，劉徽在九章註解上便給了詳盡的証明，並且也順便算出圓周率為(史稱徽率)，劉徽所使用的方法就是所謂的『割圓術』，劉徽曾說：『割之彌細，所失彌少，割之又割，以致於不可割，則與圓周合體，而無所失矣。』也就是利用圓內接正n邊形的周長，然後讓n越來越大，以求圓周長的近似值，不過當年還沒有極限的概念，所以不管圓內接正n邊形的n有多大，始終祇能算出近似值，而且會使用很大的計算量。 劉徽之後兩百年，約在南北朝，另有一位天文學家在圓周率的計算上有了更大的突破，這個人就是祖沖之(公元429年~500年)，他是中國歷史上一位偉大的數學家，他曾算出值到小數位的第七位， 『隋書』上記載祖沖之曾求得 3.1415926＜π＜3.1415927 這個近似值是當時最精密的圓周率，而且這個記錄保持了將近一千年左右。在1424年中亞細亞伊朗地區有一位天文數學家卡西曾經算出 π=3.14159265358979325，精確度達到小數位第16位。 利用幾何方法求π值，必須要做很大的計算量，像數學家盧多爾夫(德國人，公元1540年~1610年)為了要算出π值的小數位第35位，幾乎窮其一生的精力與時間，在電子計算機還未發明以前，這已經是人類的極限了。十七世紀數學分析出現了以後，π的歷史又邁入一個新的里程碑。 微積分的發明使得人類擺脫冗長繁雜的計算，取而代之是利用無窮級數或無窮連乘積來計算π，其中比較著名的有以下幾種形式： (1) 此式由英國人韋達(Vieta)於1579年發現。 (2) 此式由英國人瓦利斯(Wallis)於1650年發現。 (3) 此式在1673年為德國人萊布尼茲(Leibniz)發現，其實此式可由微積分中反切函數的冪級數表示而得到：，令x=1便得上式。 (4) 此式可由(3)中所提到的冪級數導出(令x=)。 (5) 此式由英國人梅欽(Machin)於1706年發現，並利用之冪級數表示計算出π值到小數位第100位。 (6) 此式於1873年由美國人尚克斯(Shanks)提出，並且利用此式計算π值至小數位第707位。 二十世紀人類歷史進入電腦時代，1949年有人利用世界第一台計算機ENIAC計算π直到小數位第2035位，一共花70小時，當計算機的發展不斷更新，計算π值的紀錄也紛紛被打破，六零年代已經可以算到小數位十萬位，八零年代已高