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第十七章 多元函数微分学 证明题 1. 证明函数 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微. 2. 证明函数 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微. 3. 证明: 若二元函数f在点p(x0,y0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界,则f在U(p)内连续. 4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 ≈x+y. 5. 试证: (1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=,其中f为可微函数,验证 +=. 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数,证明: sec x + secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 x=u cosθ-v sinθ, y=u sinθ+v cosθ 之下.+是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cosθ-v sinθ,u sinθ+v cosθ). 则必有+=+.(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数, F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求:Fx(0,0)与Fg(0,0) 10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t0) 则称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K次齐次函数的充要条件是: ++=KF(x,y,z). 并证明:Z=为二次齐次函数. 11..设f(x,y,z)具有性质f=(x,y,z)(t0) 证明: (1) f(x,y,z)=; (2) ++=nf(x,y,z). 12.设由行列式表示的函数 D(t)= 其中(i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明 = 13.证明: (1) grad(u+c)=grad u(c为常数); (2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数); (3) grsdu v=u grad v+v grsd u; (4) grad f(u)=(u)grad u. 14.设f(x,y)可微,L1与L2是R2上的一组线性无关向量,试证明;若(i=1,2)则f(x,y)≡常数. 15.通过对F(x,y)=sin x cos y施用中值定理,证明对某 (0,1),有 =. 16.证明:函数 u=(a,b为常数) 满足热传导方程:= 17.证明:函数u=(a,b为常数)满足拉普拉斯方程:+=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: +=0.则函数V=f(,)也满足此方程. 19.设函数u=,证明: =. 20.设fx,fy和fyx在点(x0,y0) 的某领域内存在,fyx在点(x0,y0)连续,证明fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0), 21.设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在且在点(x0,y0)可微,则有 fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0) 二、计算题 1.求下列函数的偏导数: (1) Z=x2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=; (4) Z=ln(x+y2); (5) Z=exy; (6) Z=arctg; (7) Z=xyesin(xy); (8) u=; (9) u=(xy)z; (10) u=. 2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsin; 求fx(x,1). 3. 设 考察函数f在原点(0,0)的偏导数. 4. 证明函数Z=在点(0,0)连续但偏导数不存在. 5. 考察函数 在点(0,0)处的可微性. 6. 求下列函数在给定点的全微分; (1) Z=x4+y4-4x2y2在点(0,0),(1,1); (2) Z=在点(1,0),(0,1). 7. 求下列函数的全微分; (1) Z=ysin(x+y); (2) u=xeyx+e-z+y 8. 求曲面Z=arctg在点处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x2+y2-Z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程. 10. 在曲面Z=xy上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程. 11. 计算近似值: (1) 1.002×2.0032×3.0043; (2) sin29°×tg46°. 12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm高h=40cm. 若R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值. 13. 设二元函数f在区域D=[a,b]×[c,d]上连续 (1) 若在intD内有fx≡0,试问f在D上有何特性? (2) 若在in