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——多面体欧拉定理(二） 1、欧拉定理（公式） 为什么正多面体只有五种呢？ 所以满足条件 的情况为 例1：每个顶点处棱数都是3的正多面体有几种？ 例2：一个凸多面体每面的边数相同，每个顶点处的棱数也相同，若各个面的内角总和为36000，求这个多面体的面数F，顶点数V及棱数E。 例3：设多面体共有V个顶点，求证：它的各面多边形内角和为（V－2）· 3600 。 例4：求证：不存在7条棱的凸多面体 课堂小结： 作业： 课课练P.67——68 * * 制作：杨建楠 复习： 2、欧拉示性数 是否所有的多面体的欧拉示性数都是2？ 3、什么样的多面体叫做简单多面体？ 什么样的凸多面体叫做正多面体？ 证明：设正多面体的每个面边数为x，每个顶点的棱数为y, 则多面体有F个面，有V个顶点，棱数 代入欧拉公式得： 又 都不小于3，但 又不能同时大于3， 否则 不成立 所以x, y 中至少有一个为3，若x=3，则 同样 ⑤ ④ ③ ② ① 多面体的名称 面数 F 每个顶点的棱数 Y 每个面的边数 X 3 3 4 正四面体 3 4 8 正八面体 4 3 6 正六面体 5 3 12 正十二面体 3 5 20 正二十面体 所以正多面体只有五种 解：设多边形的边数为x, 由题意 代入欧拉公式得： 有三种，正四、六、十二面体 解：设多面体的每个面边数为x，每个顶点连的棱数为y,则 代入欧拉公式得 所以这个多面体的各面是三角形，各顶点处有5条棱。 这个多面体有12个顶点，20个面，30条棱。 证明：设各面为E1、E2、…EF边形，则内角和为 证明：若存在7条棱的凸多面体，则由欧拉定理 但四面体有6条棱，五面体有8条棱。 故不存在7条棱的凸多面体。 1、欧拉定理 简单多面体的顶点 数V、棱数E、面数F间满足关系： V+F–E=2 2、欧拉定理（公式）的应用 ①证明只有五种正多面体 （四、六、八、十二、二十） ②证明有关多面体的问题 *