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带电粒子在电磁场中的运动 习题： 一根原长为l0，劲度系数为k的绝缘弹簧的两端各系一小球A、B，他们的质量分别是m1和m2，带电量分别是q1和q2，（q1、q2均为正），处在与弹簧平行的匀强电场E中，开始弹簧处在原长，小球由静止开始释放，求以后运动中小球间的最大距离，忽略两小球间作用。 解： 在质心系中，两小球开始受到合力 ，， 若时，弹簧被拉伸，当拉伸时，小球受力为零（平衡位置），故最大伸长量为， 若时，小球以后不动， 若时，弹簧被压缩， 一摆由长为l的轻杆及杆端质量为m，带电量为Q的小球构成，另一电荷(-q)固定于悬点O正上方相距为d处，求此摆作小摆动的周期，当电荷量Q满足什么条件方可发生此摆动? 解： 由正弦定理： 在半径为R的绝缘细圆环上有总电量为Q的分布。（Q0） 如点电荷q1可沿直径AOB作匀速直线运动，求环上电荷的分布； 设x轴沿AOB，原点O，将q1放在x轴上x0某点，能否在x0某点再放一点电荷q2，使三者均保持不动，设，求q2大小及位置； 将q1、q2放在上述位置，但同时改变他们的电荷符号，保持电量不变，再使环沿x方向平移一小段x后静止释放，求环的运动。 解：（1）设想一半径为R，带电量为Q的均匀带电球面，球内E=0，把球面沿垂直于AOB方向分割成许多小环，P1P2环上电荷在AOB上各点产生的场强与把半环电荷集中到P1点，另半环电荷集中到P2点等效在与x轴夹角为，环上P点的电量为 电荷分布 q1、q2位置在x轴上环外，因x轴上环外位置的场与均匀带电球面的场一样，故相当于此直线上三个点电荷之间的相互作用问题 三者均要平衡，则应 将 可知：，才能在O点右侧距O为处放上的负电荷，使三者均平衡。 （3）Q、q1、q2均为正电荷，固定q1、q2，Q从平衡位置沿x方向偏离一小量，其受力 ， 运动方程 图示空间有垂直于纸面的匀强磁场B，一根长直绝缘光滑细管MN以恒定速度u在纸面内向右运动，当管的M端运动到空间P点时，有一质量为m，电量为q(0)的小球以相对速度V0进入细管，求此小球经过多少时间又回到P点。 解： 只要管长，则小球还是从管的M口射出，经时t 管位移 射出时，以后作圆周运动 半径 ，要能回到P点，应满足，故能回到。 做圆周运动回到P点需时 总时间 位于原点的粒子源以相同的速率v沿xoy平面内向y0的各方向射出许多质量为m，带电量为q(0)的粒子，试设计一磁感应强度为B的匀强磁场区域（方向垂直于xoy平面），使所有粒子经磁场从其边界射出速度方向均沿x正方向，求磁场边界的方程。 解：设某粒子发出时速度与x轴夹角为，此粒子在磁场中运动到P点应出磁场，P点坐标(x,y)， P点矢径： 边界方程 磁场边界是圆心在（0,R）点，半径是R的圆。 粒子源P不断均匀地向各方向以相同速度V0射出质量为m，电量为q的粒子，其右侧O点为圆盘的圆心，OP垂直于圆盘，空间存在一匀强磁场B，方向平行于OP，试求圆盘的半径R至少为多大，不管OP距离为何值都能保证至少有粒子打上圆盘？ 解： ，只要总可打上圆盘 一带电粒子在介质中运动受到的阻力与速度成正比，当它以一定初速度进入此介质时，经过l0=10cm的距离停下，若介质中有与初速方向垂直的匀强磁场，若粒子以同样初速进入，则停止点与入射点的距离l1=6cm，若磁场的磁感应强度减为一半，则此距离为多大？ 无磁场情况： 加磁场B： 累加后： 加磁场，有类似矢量三角形 由（1）、（2）、（3）得， 在光滑水平面上，一根长为2l的绝缘细绳的两端各系一质量为m，电量分别为+q和-q的小球，两小球绕绳中点作顺时针方向的圆周运动，绳中张力恰好为零，当转到图示位置时，在垂直于圆面的方向（Z）加一匀强磁场B（B较小，B的加入不改变两小球相对中点的运动），求以后两小球的运动。 解：转到角速度， 刚加磁场B时，体系受合力（洛仑兹力） 方向y方向为质心C受力，随小球转动，此力方向始终指向-q，即此力也以角速度转动，但大小不变，可见质心也做圆周运动，角速度也为 R为质心圆周运动的半径，由于t=0时，质心速度为零，可视作是两大小相等方向相反的两速度VC的合成， 故质心运动方程为 此为一滚轮线轨迹大致如图： 两小球的运动应是质心作摆线（滚轮线）运动，与相对质心的匀速圆周运动的合成。 在一垂直于纸面的匀强磁场B中，有与地面等高并相距为l的a、b两点，一质量为m，带电量为q的粒子从a点以指向b点的方向以初速度v0射出，为使粒子能到达b点，则v0应取何值。 解：若，则一定能到达?b点 若 f1与重力抵消，则粒子以v01速度向b点作匀速直线运动，另外f2让粒子作匀速圆周运动，故粒子的运动是上述两运动的合成，轨迹为一条摆线，由于圆周运动周期