同济高等数学第一章第一节课件PPT课件.ppt

一、集合;1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为a?M, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为a?M, 读作a不属于M.;集合的表示 列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 M?{x | x具有性质P }. 例如M?{(x, y)| x, y为实数, x2?y2?1}. ;几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.;2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 A?B?{x|x?A或x?B}称为A与B的并集(简称并). A?B?{x|x?A且x?B}称为A与B的交集(简称交). A\B?{x|x?A且x?B}称为A与B的差集(简称差). AC?I\A?{x|x?A}为称A的余集或补集, 其中I为全集.; 数集{x|axb}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)={x|axb}.; (-?, b]={ x|x?b},;邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设?0, 则称 U(a, ?)=(a-?, a+?)={x| |x-a|?} 为点a的?邻域, 其中点a称为邻域的中心, ? 称为邻域的半径.;二、映射;二、映射;二、映射;说明: ; 例1 设 f : R?R, 对每个x?R, f(x)?x2. f 是一个映射, f 的定义域Df ?R, 值域Rf ?{y|y?0}. ;满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf ?Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x1?x2, 它们的像f(x1)?f(x2), 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). ;满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf ?Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x1?x2, 它们的像f(x1)?f(x2), 则称f为X到Y??单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). ;2.逆映射与复合映射 ;2.逆映射与复合映射 ;说明: ; 例4 设有映射 g : R?[?1, 1], 对每个x?R, g(x)?sin x, ;说明: ; 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. ;单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个x?D, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x?D, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. ;下页; 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-?, +?), 其值域为Rf =[0, + ?).; 此函数称为符号函数, 其定义域为D=(-?, +?) , 其值域为Rf ={-1, 0, 1}.; 例9 ; 设函数f(x)的定义域为D, 数集X?D. 如果存在数K1, 使对任一x?X, 有f(x)?K1, 则称函数f(x)在X上有上界. ; f(x)=sin x在(-?, +?)上是有界的: |sin x|?1.; 设函数y=f(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意两点, 且x1x2.; 设函数