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§7 矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用 一、矩阵函数的性质： 设 1． proof: 由 对任何收敛。因而可以逐项求导。 可见，A与是可以交换的，由此可得到如下n个性质 2．设，则 ①． ②． ③． proof：①，由 而 ②令 由于 为常数矩阵 因而 当时， …………………. （@） 特别地 有 有 同理有 代入（@）式 因而有 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 ① ② 4. 二.矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 一阶线性常系数齐次方程组的通解 （齐次） 其中 则有 其中 解方程： 解：原方程变为矩阵形式 由 得 一阶线性常系数微分方程组的定解问题： :一阶线性常数微分方程组的定解问题： 有唯一解 proof:实际上，由的通解为 将初值代入，得 由可的定解问题 的唯一解为 求定解问题：,的解 解：由 得 对应的特征向量记为： 则，于是矩阵： 3.一阶常系数非齐次方程组的定解问题： 其中 两边同乘以得： 从到上积分得： .求：非齐次微分方程组的解： 其中 解：由 对应特征向量为： 得可逆矩阵 （复习后再理解！） 注：关于线性系统的能控性与能观测性，同学们根据需要自己学习。 第三部分 矩阵特征值的估计 §1. 特征值界的估计 引理1. n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A的特征值。即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使 引理2. 设，则 Proof:设则 引理3. A为正规矩阵A酉相似于对角矩阵。 （注：正规矩阵：）即存在酉矩阵U使 Th1.设A为n阶矩阵，为其特征值，则： A为正规矩阵，等号成立。 Proof:由引理1.存在酉阵U，使（三角阵）——① 对①两边取共轭转置：——② ①② （为酉阵） 即 设令， 则A=B+C：其中B为Hermit阵（即）实 C为反Hermit阵（即）虚 注：引入B,C的目的是为了研究A的特征值的实部和虚部的估计。 Th2.设A,B,C如上所设，为A的特征值，则有： ① ② ③ Proof:由, 同理可证：其它两个 注：该定理对A特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A特征值虚部估计更精确的一个定理。 Th3.设，则 其中，为上述C的第i行第j列元素 Proof:（略） eg1.设 则 由Th3. 易见，Th3.比Th2.中③要精确。 据上述定理可得如下推论： 推论1：实对称矩阵的特征值必为实数。 推论2：Hermit矩阵的特征值必为实数。 推论3：反Hermit矩阵的特征值必为虚数或零。 Proof1:A为实对称，则，则即 由Th2 即 为实数 Proof2:A为H—阵，则，则，即 为实数 Proof3: A为反H—阵，则，设为特征值， 由Th2. 即为纯虚数或零。 Th4.幂等阵的特征值为0或1 Proof:设为A的特征值，Z为A的对应于的特征向量。 即 或1. Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B的特征值非负），则 其中分别为A+B和A的特征值，且 即A+B与A的特征值按递减顺序排列。 §2. 圆盘定理及其推广 上节我们对矩阵的特征值作了大致的估计，本节所有讲的圆盘定理是对矩阵的特征值在复平面上的具体位置作了更精确的估计。 Th1.圆盘定理：设，则A的特征值（即都在复平面上的n个圆盘内）其中（称为盖尔圆盘） Proof:设为A的特征值，X为特征向量， 则，取 即 说明：①圆盘；称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。 ②对A的任一特征值，总存在盖尔圆盘，使。 ③两个相交的圆盘的并集构成一个连通区域，一般地，由A的k个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连通部分，并说这是由k个盖尔圆组成的。 eg1.估计的特征值的分布范围 解： 则 （与构成一连通部分） eg2.设 而 则，而无特征值 不一定每个圆盘都有特征根。 Th2.（圆盘Th2.）设n阶矩阵A的n个圆盘中有S个圆盘构成一个与其它圆盘不相交的连通区域G，则在G中必有且只有S个特征值（圆盘相同时重复记，特征值相同时也按重复记）。 84