第一节-n-阶行列式.ppt

小结 练习： 例1.7 计算上三角行列式 解 D中各项中不为零的项只有a11a22…ann, 其它项均为零, 由于t(12…n)=0, 因此这一项取正号, 得 同理可得下三角行列式 特殊情况: 这种行列式称为对角行列式. n阶次下三角行列式（次对角线上方元素全为0）： 类似可证： 例1.8　计算行列式 解 * 音乐 大学数学系列教材编委会 主 任 丁宣浩 陈义安 副主任 袁晖坪 袁德美 陈修素 李霄民 编 委（以姓氏笔画为序） 万 波 王文惠 王 斌 王行荣 闻道君 安 军 李庆玉 吴世锦 张义萍 胡雪梅 陶 宝 郭 伟 夏 莉 雷 澜 包志清 龙宪军 刘 彬 江晓涛 安 军 李焕蓉 宋树枝 张天永 陈均明 陈尚杰 罗光耀 胡雪梅 胡 洵 姚 莉 钟润华 赵文强 郭 华 唐 艳 曹于忠 黄应全 詹 毅 曾小林 教材： 线性代数 主 编：袁晖坪、郭伟 副主编：吴世锦、万波、陈义安 主 审：丁宣浩 高等教育出版社 第一章行列式 线性代数是中学代数的继续和提高. 作为解一次（线性）方程的延伸和深化，研讨多个变量多个线性方程构成的线性方程组的求解问题，需要行列式、矩阵和向量等工具. 行列式是线性代数的一个重要研究对象和最基本最常用的工具之一，它被广泛地应用到数学、物理、力学、工程技术及经济管理等领域中. 本章主要讨论阶行列式的概念、性质、计算方法及用行列式求解特殊线性方程组的克莱姆法则. 其主要知识结构如下： §1.1 数域与n元排列 研究行列式需要数域和排列，为此，我们先讨论数域和排列. 一、数域 大家知道：数是数学的一个最基本的概念，绝大多数计算最终都归结为数的代数运算. 又研究某些问题，常与研究对象的取值范围有关，如方程 在有理数范围和实数范围均无解，但在复数范围有解： 因此同一问题在不同的数集内可有不同的结果. 另一方面，有理数、实数和复数有许多共同的关于加、减、乘、除的运算性质, 为了把具有这些共同运算性质的数集统一处理，便引入以下数域的概念. 定义1.1 设F是至少含有两个不同复数的数集，若中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除数非零）仍为F中的数，则称F是一个数域 (field of numbers). 若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中，则称F关于这一运算封闭. 因此，F为数域当且仅当至少含有两个不同数且关于加、减、乘、除（除数非零）的运算封闭. 显然：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域，但整数集Z不是数域（因关于除法不封闭）. 一般地可以验证: 为数域，因此有无穷多个数域，其中有理数域是最小的数域. 以后无特别声明时，一般在实数域中考虑问题. 定义1.2 由n个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in, 称为一个n级（元）排列(permutation). 定义1.3 在一个n级排列i1i2…in中, 如果有较大的数it排在较小的数is前面(isit), 则称it与is构成一个逆序. 一个n级排列中逆序的总数, 称为它的逆序数, 记为t(i1i2…in). 例如，123、132、213、213、312、321均为3元排列，共有个3!元排列， 一般共有n !个n元排列. 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 交换一个排列中某两个数码的位置而其余数码保持不动的变换称为对换. 二、排列与逆序 奇排列 3 21,31,32 3 2 1 偶排列 2 31, 32 3 1 2 偶排列 2 21, 31 2 3 1 奇排列 1 21 2 1 3 奇排列 1 32 1 3 2 偶排列 0 无 1 2 3 奇偶性 逆序数 逆序 排列 一般地可按下法计算n元排列 的逆序数： . 例1.1 求以下排列的逆序数： （1） 264351； （2）462351 ； (3) (4) 解（1） 因此264351为奇排列； 因此264351为偶排列； ， 因此12…n为偶排列； . 由此可知：n元排列 的逆序数满足： 且一般地有以下定理： 定理1.1 对换改变排列的奇偶性. 由定理1.1易知：在n (n1)元排列中，奇偶排列各占一半，各有n!/2个. §1.2 由线性方程组引出行列式概念 一、n阶行列式的引出 线性方程组是否有求解公式呢？对二元线性方程组 用加减消元法可求得它的唯一解： 为了便于记忆，引入记号 称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行， 纵排叫列， 叫行列