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4—简单的线性规划、基本不等式 知识块一：求目标函数的最值 归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一：求线性目标函数的最值 1．设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为(　　) A．10　　B．8C．3 D．2 解析：选B　作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8. 2．若x，y 满足则z＝x＋y的最小值为 ________. 解析：根据题意画出可行域如图，由于z＝x＋y对应的直线斜率为－，且z与x正相关，结合图形可知，当直线过点A(0,1)时，z取得最小值1. 答案：1 角度二：求非线性目标的最值 3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　) A．2 B．1C．－ D．－ 解析：选C　已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－. 4．设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是(　　) A．[1,2] B．[1,4]C．[，2] D．[2,4] 解析：选B　如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]． 角度三：求线性规划中的参数 5．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　) A．2 B．－2C. D．－ 解析：选D　作出线性约束条件的可行域．当k＞0时，如图所示，此时可行域为y轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值． 当k＜－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意． 当－1＜k＜0时，如图所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B时，有最小值，即－＝－4k＝－.故选D. 6．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　) A.或－1 B．2或C．2或1 D．2或－1 解析：选D　法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zBzC或zA＝zCzB或zB＝zCzA，解得a＝－1或a＝2. 法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0AB或l0AC时符合题意，故a＝－1或a＝2. 一、选择题 1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　) A．(－24,7)　　　　　　　B．(－7,24) C．(－∞，－7)(24，＋∞) D．(－∞，－24)(7，＋∞) 解析：选B　根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0. 即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24. ．已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝·的最大值为(　　) A．－2 B．－1C．1 D．2 解析：选D　如图作可行域， z＝·＝x＋2y，显然在B(0,1)处zmax＝2.故选D. ．设动点P(x，y)在区域Ω：上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为(　　) A．π B．2πC．3π D．4π 解析：选D　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×2＝4π，故选D. 4．变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是(　　) A．{－3,0} B．{3，－1}C．{0,1} D．{－3,0,1} 解析：选B　作出不等式组所表示的平面区域，如图所示． 易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，a＝－1或a＝3.故选B. ．设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　) A．－5 B．3C．－5或3 D．5或－3 解析：选B　法一：联立方程解得代入x＋ay＝7中，解得a＝3或－5，当a＝－5时，z＝x＋ay的最大值是7；当a＝3时，z＝x＋a