地球物理反演理论发展和研究方法.ppt

《地球物理反演的 理论与方法》 内容简介 第一章 概述 一、地球物理反演的研究对象 二、地球物理反演的发展简史 三、地球物理反演的研究内容和方法 四、地球物理反演的计算机实现 第二章 逆散射地震层析成像 第三章 多源井间层析成象声波波动 第四章 线性规划和联合线性反演 除了分辨率之外,解估计的方差也是评价解估计质量的重要参数。与分辨率不同,的方差不仅与广义逆有关,还与数据的方差有关。把数据向量d视为，维向量空间中的一个点，而模型m视为另一个，，维空间中的一个点，则广义逆G—‘乃是从空间向空间的一个映射，它同时也把数据的误差放大为解估计的误差。回忆数据的协方差矩阵为(3．15)式定义的对称正定矩阵．由于是解估计的数学期望，则由定义可知它的协方差矩阵为 C。．。＝G’(GC’)-2G 说明由于数据不足解估计的方差仍然较大。类似地，由(3．29)至(3．35)各式我们也不难用分辨率和方差对阻尼最小二乘及最平解估计进行评价。 (--)展布和最小展布解估计 对于线性反问题，我们已经知道可以由广义逆导出解估计的分辨率和单位方差。那么能否反过来根据我们对分辨率或方差的要求为准则来选取广义逆呢?在广义线性反演中所关心的正是这个问题。 首先来考虑找一个最佳分辨率的解估计的问题。由于在最理想的情况下分辨率矩阵月为单位矩阵J，我们还可以用矩阵(丑一／)的模来衡量分辨率。当取(丑一／)的厶模作为分辨率的量度时，它被称为矩阵R的非对角线元素的展布，记为 这就是(3.41)式。上述推导说明取数据分辨率的展布最小导致超定方程组的最小二乘解估计。由此可知，取矩阵P的展布极小和取预测误差极小是等价的。 对于欠定方程组，我们希望取模型的分辨率矩阵R的展布极小来找广义逆。将代入(3.49)并取 (三)随机逆和最小方差解估计 当数据带有误差时我们不仅要考虑解估计的分辨率，而且还必须使解估计的方差在允许范围之内。由于解估计的方差不仅与广义逆有关，而且也和数据方差有关，因此在把方差作为准则求广义逆时要排除与数据有关的因素，只用单位协方差矩阵C。。作推导。类似于展布，我们也可以用cn。的厶模来衡量单位协方差矩阵的大小。对于统计上独立的模型参数，由于协方差矩阵的非对角元素为零，它的大小可写为 在(3．57)中导出的最小方差解估计最早是由ranklin(1970)在假定模型m为二阶高斯随机过程的一次实现的条件下推导出来的，它称之为随机逆c33，。以后，Jackson(1979)等人又证明关于高斯随机过程的假设是不必要的‘32)。 作为随机逆(3．57)的应用的一个例子，看看广泛用于病态的超定方程组求解的所谓“沿脊回归”技术”“，它实际上是取协方差矩阵Cn＝fl的特殊情况，其中r2为待定参数。此时由(3．56)可知解估计误差的协方差矩阵为 C＝f2(X一／)(皮一／)’+G—‘Cd(G—‘)’ · 当r2很小时上式第一项减小，说明对分辨率不足引起误差加较小的权，而对第二项数据传播引起的误差加较大的权。因此，，‘实际上是在解估计的分辨率和方差之间起调节作用的参数，而所谓的沿脊回归技术只是随机逆的一个特例。 (四)最大的似然解估计 最大似然解估计也是随机逆应用的一个特例。如果不对解估计的方差作任何限制，即令C’；0，则由(3．58)式可以得到一种取分辨率最高的解估计 其模型分辨率矩阵＝／。式(3．61)只在矩阵G为非奇异时成立。实际上，(3．61)式给出的解估计就是用数据的协方差矩阵作归一化后由最小二乘法得到的解估计，即对 (d—Gm)TCil(d—Gm)取极小的解估计。 把(3．61)式称为最大似然解估计的原因是它和用概率密度的条件极值导出的解相同，而 图3．d 对数据d的概率分布f(d)的最大似然且最大似然法是先出现的经典方法。回忆一下 点d“I，它是出现可能性最大的测量值，但)F 最大似然的思想，让我们来看看·图3．4所示的随 ：：L) 一S为)6aZ 机变量d的概率分布尸(d)。如果户(d)是一个较复杂的曲线，它的尖峰处称为最大似然点dML，与处于重心平衡位置的均值刁可能并不重合。 如果一个向量m的估计南是由数据d导出的，而d是带有误差的随机向量，而估计误差(m一角)也是一个取决于d的随机向量。所谓的似然函数乃是给定gt的条件下d出现的条件概率尸(d／m)，它取极大时对m的估计thML被称为最大似然估计。由于概率PO而且lgP(d／91)和P(d／m)对相同的Dt取极大值，所以极大似然估计应满足以下方程 塑誓些[ —0 (3．