湖北高考数学（理）一轮复习同步教材提能课件：2.12《导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例》（新人教a版）.ppt

　　　　　　　　　导数在实际问题中的应用 【方法点睛】 1.导数在实际问题中的应用 在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数加以解决.注意检验结果与实际是否相符. 2.实际问题中的最值 根据实际意义，函数存在最值，而函数只有一个极值，则函数的极值就是最值. 【例3】(2011·山东高考)某企业拟 建造如图所示的容器(不计厚度，长 度单位：米)，其中容器的中间为圆 柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 　　立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积 有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部 分每平方米建造费用为c(c＞3)千元.设该容器的建造费用为 y千元. (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. 【解题指南】本题为应用题，(1)先求出l和r的关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域.(2)利用导数求函数的最值.先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值. 【规范解答】(1)因为容器的容积为　　立方米， 所以 解得　　　　　由于l≥2r, 因此0＜r≤2. 所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4πr2, 所以建造费用　　　　　　　　　定义域为(0,2]. (2)因为 由于c3,所以c-20, 所以令y′＞0得: 令y′＜0得: ①当　　　　即 时，函数y在(0，2］上是单调递减的，故建造费用最小时r=2. ②当　　　即　　　　 　时，函数y在(0，2］上是先减后增 的，故建造费用最小时 【反思·感悟】1.解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题. 2.解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域是这类题目失分的主要原因. 【变式训练】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时 的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以 表示为： 已知甲、乙两地相距 100千米. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要 耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少？最少为多少升？ 【解析】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 小 时，要耗油 =17.5(升). 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地 耗油17.5升. (2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得 令h′(x)=0,得x=80. 当x∈(0,80)时，h′(x)＜0,h(x)是减函数； 当x∈(80,120］时，h′(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【变式备选】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a). 【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为： L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］. (2)L′=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L′=0得 或x=12(不合题意，舍去). 在 两侧，由左向右L′的值由正变负. 所以①当8≤6+ a＜9即3≤a＜ 时， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当 即 ≤a≤5时， 即：若 则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最 大，最大值Q(a)=9(6-a)(万元)；若 则当每件售价为 元时，分公司一年的利润L最大，最大值 (万元). 【满分指导】函数综合题的规范解答 【典例】(12分)(2011·湖南高考)设函数 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出