研究生入学考试第七章 留数定理及其应用ppt模版课件.ppt

例题 解 计算积分 在上半平面只有一个二阶极点 因为 由引理二（第三章）知 所以 可见，无穷积分的被积函数 f(z) 必须满足： 1）在上半平面除有限个孤立奇点外，处处解析，实轴上无奇点； 2）在 内，当 时， 一致的趋于 0。 即 ，使当 时， 例题 解 计算定积分 在围道内只有一个一阶奇点 作围道 （引理二） 所以 即 在上半平面内有两个一阶极点 和 例题 解 计算积分 只要知道 ，那么分别比较实部和虚部即可。 7.4 含三角函数的无穷积分 当 时， 和 行为复杂，故取被积函数为 计算方法： 或 设 ，当 时，Q(z) 一致的趋近于 0，则 约当定理 定理 其中 p 0，CR 是以原点为圆心，以 R 为半径的半圆弧。 证明 ∵ 时， ∴ 可见 由复变积分性质知： 当 f(x) 为偶函数时， f(x)cospx 为偶函数，f(x)sinpx 为奇函数。 bk 在 C 内 约当引理保证了： 当 f(x) 为奇函数时， f(x)cospx 为奇函数，f(x)sinpx 为偶函数。 为偶函数 例题 解 计算积分 在上半平面内有一阶极点 和 由约当引理知 非奇非偶 例题 解 计算积分 在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知 所以 为奇函数 例题 解 计算积分 在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知 方法一： 所以 即 为奇函数 方法二： 所以 ⊙ 主值积分 解析函数 f(x) 在有界区域内某点 x0 无界，称 为 f(x) 在 [a, b] 上的主值积分。 7.5 实轴上有奇点的情形 围道作法同上，只是积分围道绕过实轴上的奇点。围道多了一段以实轴上的奇点为圆心，d 为半径的半圆弧。 计算方法： 定义 例题 解 计算主值积分 由引理二知：大弧上的积分为零。 又由引理一知：小弧上的积分值。 因此 即 例题 解 计算积分 围道 C 内 解析，故积分值为零。 由约当引理知：大弧积分为零。 当 时 又由引理一知：小弧上的积分值。 可知 即 所以 例题 解 计算积分 围道 C 内 解析，故围道积分值为零。 在实轴上有二阶极点 z = 0 ，作如图围道 ∵ ∴ 又由约当引理知：大弧积分为零。 当 时 由引理一知：小弧上的积分值。 即 例题 解 计算积分 在实轴上有三阶极点 z = 0 由约当引理知：大弧积分为零。 当 时 对于 I1 作围道 C，如下图 故 * 第七章 留数定理及其应用 数学物理方法—— 7.1 留数定理 单值函数 f(z) 在孤立奇点bk 邻域内的洛朗展开 中的 项的系数 称为 f(z) 在 bk处的留数， 记作 ，或 。 留数 定义 设光滑的简单闭合曲线 C 是区域 G 的边界，若除了有限个孤立奇点 bk ( k =1, 2, n ) 外，函数 f(z) 在 G 内单值解析，在 上连续，且 C 上没有奇点，则 留数定理 定理 如图，围绕每个奇点 bk 作闭合曲线 gk ，使 gk 均在 G 内，且互不交