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弹性力学本科教学中矩阵表达形式 　　收稿日期：2013-05-13 　　基金项目：2012年湖北省高等学校省级教学研究项目（2012237）；三峡大学弹性力学精品课程建设项目 　　作者简介：刘章军（1973-），男，三峡大学水利与环境学院工程力学系教授，博士，主要从事工程力学研究，（E-mail）liuzhangjun73@。 　　摘要：在弹性力学的本科教学中，采用了矩阵形式来表达各物理量间的相互关系。文中主要讨论了以应力、应变、位移为基本量的各物理量间的矩阵表达形式，包括基本方程、边界条件以及不同坐标间的基本物理量的转换关系。采用矩阵表达形式不仅书写简洁、记忆容易，而且表现直观、便于理解。 　　关键词：弹性力学；本科教学；矩阵表达形式 　　中图分类号：G642；TB125文献标志码：A文章编号2013现行的弹性力学本科教材[1]中，各物理量间的相互关系主要采用展开形式的教学方??，这种展开的表达形式书写较为复杂且记忆困难，各物理量间的关系不能直观表现。虽然采用张量的指标记法可以达到书写简洁的目的[2]，但对于初学者理解较为困难。为此，在弹性力学的本科教学中，采用矩阵表达是一种较为合适的形式。采用矩阵表达形式具有书写简洁、记忆容易，同时也便于与数值解法（如有限单元法）相衔接。 　　为检验矩阵表达形式在弹性力学本科教学中的效果，笔者曾在2年4个学期的教学中进行了矩阵表达形式与展开形式的对比实践，学生普遍认为矩阵表达形式简洁易懂、便于记忆。对于普通大学本科生而言，矩阵表达是一种较为理想的教学形式。为此，文章简要介绍在弹性力学本科教学中采用的矩阵形式表达。 　　一、弹性力学问题中物理量间的相互关系 　　在大学本科教材中，一般采用弹性力学问题的微分提法[3]，即从研究弹性体内的微元入手，导出描述微元静力平衡、变形几何及物理关系的一组基本方程，加上相应的边界条件，把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。图1给出了弹性力学中各物理量间的相互关系，包括基本方程和边界条件。 　　二、以应力为基础的物理量间的矩阵表达 　　在直角坐标系x，y，z下，应力分量σx，??y，σz，τxy，τxz，τyz，体力分量fx，fy，fz，面力分量x，y，z，全应力在坐标轴上的投影px，py，pz，外法线的方向余弦l，m，n；在柱坐标ρ，φ，z下，应力分量σρ，σφ，σz，τρφ，τρz，τφz，体力分量fρ，fφ，fz。为简便之，记： 　　图1物理量间的相互关系 　　高等建筑教育2013年第22卷第5期 　　刘章军，等弹性力学本科教学中的矩阵表达形式 　　下面，给出以应力为基础的各物理量间的矩阵表达形式。 　　（一）平衡微分方程的矩阵表达 　　在直角坐标系中，平衡微分方程的矩阵表达形式为： 　　σ（1）（1）+f（1）=0（1） 　　这里，记号约定：σx×x=σxx，τxy×y=τxyy，τxz×z=τxzz，依此类推。式（1）表明了应力状态随坐标的变化规律，即应力对坐标的一阶导数与体力所满足的平衡关系式。类似地，在柱坐标系中的平衡微分方程可写为： 　　σ（2）（2）+f（2）+e（2）=0（2） 　　这里，记号约定：σρ×ρ=σρρ，τρφ×1ρφ=1ρτρφφ，τρz×z=τρzz，依此类推。在式（2）中，增加的e（2）项是由于柱坐标系中φ的正面和负面不平行，以及ρ的正面和负面面积不等所引起的。 　　对于弹性力学平面问题，只需在式（1）和式（2）中分别去掉与z相关的所有元素，即可得到平面问题的直角坐标和极坐标中的平衡微分方程。 　　对于空间轴对称问题，由于对称性，有τρφ=τφz=0，其他4个应力分量σρ，σφ，σz，τρz一般都是ρ和z的函数。因此，将式（2）中矩阵σ（2）的第二行和第二列去掉，同时将所有列向量的第二行去掉，得到空间轴对称问题的平衡微分方程： 　　（二）斜截面应力的矩阵表达 　　已知某点的应力张量或应力矩阵σ后，此点的应力状态就被确定了。于是，过此点任意斜截面上的全应力在笛卡尔坐标轴上的投影可写为： 　　p（1）=σ（1）l（1）（4） 　　若将斜截面看作物体的边界面，且给定面力（1），即可得到应力边界条件： 　　（1）=σ（1）l（1）（5） 　　同时，斜截面上的正应力的矩阵表达式为： 　　σn=l（1）Tp（1）=l（1）Tσ（1）l（1）（6） 　　（三）主应力和主方向的矩阵表达 　　由于应力张量或矩阵σ是一个实对称的3×3阶方阵，因此，它的三个特征值都是实数，同时存在三个相互正交的特征向量。事实上，对于给定的应力张量或矩阵σ，此点的主应力和主方向即为应力矩阵σ的特征值和特征向量： 　　σ（1）l（1）=σl（1）（