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目 录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 引言 1 1. 实二次型化简方法 2 1.1配方法 2 1.2初等变换法（合同变换法） 3 1.3正交变换法（正交线性替换法） 7 2. 二次型化简在二次曲线上的应用 11 2.1通过合同变换来化简 11 2.2通过正交变换来化简 13 参考文献 15 实二次型化简及其在解析几何中的应用 学生姓名:****** 学号:200950***** 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师:****** 职称:** 摘 要:二次型是高等代数的重要内容之一，本文全面概述了化二次型为标准型的方法及其在有关二次曲线的实际例题中的应用． 关键词:二次型;标准型;二次曲线;应用 Simplification of Real Quadratic Form and its Application in Analytic Geometry Abstract: The second type is an important part of higher algebra, this comprehensive overview of the second type of approach for the standard and the actual curve in the second example of the application. Keywords: quadratic form; standard; quadratic curve; application 引言 二次型是线性代数中一个很重要的知识点．将实二次型化成标准型既是重点又是难点．我们知道，任何一个实二次型都唯一决定一个实对称矩阵，而实对称矩阵一定可以对角化．因此，每一个实二次型都可以化成标准型．二次型理论源于化二次曲线和二次曲面方程为标准形式的问题，故其理论在解析几何上有重要应用． 1.实二次型化简方法 在实二次型的化简中，我们常常会用到一些常见的方法，如:配方法，初等变换法正交变换法等．以下详细介绍这些方法． 1.1配方法[1] 用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项，分如下两种情形. 情形1 如果二次型含某变量例如的平方项而其系数，则集中二次型中含的所有交叉项，然后与配方，并作线性变换 ， 得，其中是的二次型，对重复上述方法直到化二次型为标准型为止． 情形2 如果二次型不含平方项，即，但含某 一项，则先做可逆线性变换 ， 把化为一个含平方项的二次型，再借用情形1的方法化为标准型． 注意 为了写出化二次型为标准形所用的可逆线性变换，对情形1中的线性变换应写出它的逆变换（即用表示出），再将化简过程中每一步的线性变换进行复合，得到总的线性变换． 例1 用配方法化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换， ． 解 用配方法有 令 ， 即 ， 得 ． 令 ， 即 ， 得 ， 所用的可逆线性变换为 ， 即 ， 这里 ， 因为，故可逆． 1.2初等变换法（合同变换法）[ 2 ] 用可逆线性变换化二次型为标准形，相当于对于对称矩阵找一个可逆矩阵，使为对角矩阵，其中的形式如下 ． 由于可逆矩阵可以写成若干初等矩阵的乘积，即，从而有，．根据初等矩阵的有关性质（用初等矩阵对左乘或右乘，相当于对该矩阵做初等行变换或初等列变换），由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤． 首先，写出二次型的矩阵，并构造矩阵． 其次，对进行同步的初等行变换和初等列变换，把化成对角矩阵，并对施行与相同的初等列变换化为矩阵，此时． 最后，写出可逆变换，化二次型为标准形． 例2 用初等变换法把下列二次型经过非退化线性变换化成标准形，并写出所作的非退化线性替换[3]． ． 解 的矩阵是 ， 用矩阵做同步的初等行变换和初等列变换，有 ． 故 ，． 令 ， 其中 ， 得 ． 所做的非退化线性变换即为 ． 注 记号写在箭头上方表示进行初等行变换，记号写在箭头下方表示进行列等行变换．如，表示第二行各元素的3倍加到第一行对应的元素上去，表示第一列各元素的1倍加到第三列对应的元素上去． 例3 用非退化的线性替换化二次型为标准 形．（合同变换法）[4]的矩阵，再作矩阵，且对其用合同变换和初等变换有 ， 取 ， 则 ， 令 ， 得 ． 1.3正交变换法（正交线性替换法）[5] 用正交线性变换化二次型为标准形，相当于对于对称矩阵找一个正交矩阵，使为对角阵．而这是可以实现的，具体步骤如下 第一步，写出二次型的矩阵， 第二步，求出的全部互不相等的特征值，它们的重数依次是， 第三步，对每个重特征值，求方程的基础解系，得个线性无关的特征向量．再