13。2不等式选讲.docx

13．2　不等式选讲1．基本不等式及其推广(1)a2＋b2≥__________(a，b∈R)，当且仅当__________时，等号成立．(2)≥__________(a，b0)，当且仅当__________时，等号成立．(3)≥__________(a，b，c0)，当且仅当________时，等号成立．(4)≥______________(ai0，i＝1，2，…，n)，当且仅当__________________时，等号成立．2．绝对值不等式(1)定理1：如果a，b是实数，那么≤__________，当且仅当__________时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么≤__________，当且仅当____________时，等号成立．(3)a?____________，a?______________．3．证明不等式的方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法；(6)数学归纳法．以上方法可参见本书第十二章“算法初步、推理与证明”．自查自纠：1．(1)2ab　a＝b　(2)　a＝b　(3)　a＝b＝c(4)　a1＝a2＝…＝an2．(1)＋　ab≥0(2)＋　(a－b)(b－c)≥0(3)－axa　x－a或xa3．(1)作差　作商　(5)放大　缩小 不等式1|x＋1|3的解集为(　　)A．(0，2) B．(－2，0)∪(2，4)C．(－4，0) D．(－4，－2)∪(0，2)解：原不等式等价于或解之得0x2或－4x－2.故选D. ()设ab0，下面四个不等式中，正确的是(　　)①|a＋b||a|; ②|a＋b||b|；③|a＋b||a－b|; ④|a＋b||a|－|b|.A．①和② B．①和③C．①和④ D．②和④解：因为ab0，所以a与b同号，所以|a＋b|＝|a|＋|b||a||a|－|b|，故①正确，②③错误，④正确．故选C. “a＝2”是“关于x的不等式|x＋1|＋|x＋2|a的解集非空”的(　　)A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件解：因为|x＋1|＋|x＋2|≥|x＋1－(x＋2)|＝1，所以由不等式|x＋1|＋|x＋2|a的解集非空得a1，所以“a＝2”是“关于x的不等式 |x＋1|＋|x＋2|a的解集非空”的充分不必要条件．故选C. 已知集合M＝{x||x－4|＋|x－1|5}， N＝{x|ax6}，且M∩N＝(2，b)，则a＋b＝____________．解：因为M＝{x|0x5}，N＝{x|ax6}，M∩N＝(2，b)，所以a＝2，b＝5，所以a＋b＝7.故填7. ()若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解：依题意，不等式右边须小于等于左边的最小值，|2x－1|＋|x＋2|＝从而|2x－1|＋|x＋2|≥，解不等式a2＋a＋2≤得a∈.故填.类型一　绝对值不等式　设f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)当a＝5时，解不等式f(x)≤3；(2)当a＝1时，若?x∈R，使得不等式f(x－1)＋f(2x)≤1－2m成立，求实数m的取值范围．解：(1)当a＝5时，原不等式等价于|x－5|≤3，即－3≤x－5≤3，所以2≤x≤8.所以原不等式的解集为{x|2≤x≤8}．(2)当a＝1时，f(x)＝|x－1|，令g(x)＝f(x－1)＋f(2x)＝|x－2|＋|2x－1|＝当x＝时，g(x)取得最小值.由题意知≤1－2m，所以m≤－，所以实数m的取值范围为.点拨：处理含绝对值不等式问题，去绝对值符号是关键．从这几年的考题来看，绝对值符号内一次式居多，常采用零点分段法分段讨论．对于形如|x－a|＋|x－b|＞c(或＜c)的不等式，利用绝对值的几何意义去解，也很方便．　()设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)2；(2)若关于x的不等式af(x)有解，求实数a的取值范围．解：(1)不等式f(x)＞2? 或 或解得x－7或x≤4或x4.所以不等式的解集为.(2)f(x)＝可知在上，f(x)单调递减；在 上，f(x)单调递增．要a＞f(x)有解，只要a＞f(x)min.由f(x)单调性知f(x)min＝f＝－.所以实数a的取值范围是.类型二　含字母参数的绝对值不等式　设函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|(a0)，g(x)＝x＋2.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤g(x)的